CO
mjr(n,)+ ... + mr/r0lr) = o,
c'est-à-dire ml = o. .... nir=o et par suite p"=i. L'unité H est donc: représentée comme l'exige notre théorème '17.
5o D- HILBERT.
Il résulte de la façon dont nous avons déterminé ;, .
que
Le déterminant R=|=o, et par suite la représentation de H au moyen des e,, n'est possible que d'une seule manière.
Le théorème fondamental ^7 est donc complètement démontré.
Les unités fondamentales. — Le régulatei h du coup: d'unités indépendantes.
Un système
Le système des unités ;l bt ayant la propriété dite au théorème 47 est dit un
système d'unités fondamentales du corps />'. Il en résulte facilement que si £* s"
représente un autre système d'unités fondamentales, le déterminant des r systèmes de ;• logarithmes est égal au signe près à R. Nous écrirons constamment ces unités dans un ordre tel que R soit un nombre positif. Le nombre R est alors parfaitement déterminé dans le corps k et nous le nommerons le régulateur du corps k.
Dans le courant de la démonstration précédente nous avons reconnu qu'une unité (Innt tous les logarithmes sont =o est une racine de l'unité. Ce fait est contenu dans le théorème suivant, cpie l'on peut démontrer d'ailleurs d'une façon directe. [Kronecker?, Minkowski3.]
Théorème 48. - Toute unité telle que sa valeur absolue égale i, ainsi que les valeurs de toutes ses conjuguées, est une racine de l'unité.
Tout corps contient les unités + i et — i, le nombre de Imites les racines de l'unité qu'on y rencontre est toujours pair, et il ne peut être >2 que si tous les m corps conjugués sont imaginaires.
On dit qu'un système de / unités rM y„ forme un système de I unités indépendantes s'il n'existe entre ces unités aucune relation de la forme tj™' . . . ir)™' = i où m( ml sont des nombres entiers rationnels qui ne sont pas tous nuls; / est toujours <C r. En particulier les unités fondamentales sl er forment un système
de /• unités indépendantes. Si l'on a, d'autre part, un système quelconque de r unités indépendantes t(] rlr, il existe toujours un en lier rationnel M tel que
nu les exposan Is ///, mr sont des entiers rationnels; car si c--~ zti\" ■ ■ ■ '-"" pour
A- = i. 3, .... ;■ où les î désignent des racines de L'unité el où ",, ari sonl des
exposants entiers el rationnels, le déterminanl V formé par ces exposants entiers o o es\ nécessairemenl ^=o, el cria en vertu de l'hypothèse sur l'indépendance des unités ■« rti . La \ puissance de tonte unité £ <lu corps esl égale à
un produit de puissance des vM ijr multiplié par une racine de l'unité p. Soit
pB = i pour toutes les racines de l'unité dans k le nombre M = VE aura la propriété demandée.
La démonstration de notre théorème fondamental \- nous a montré la possibilité
d'obtenir les unités fondamentales s, zr par un nombre limité d'opérations
rationnelles. Lorsqu'on cherche à calculer ces unités de la façon la plus -impie on est conduit à un algorithme semblable aux fractions continues, et ce qui l'orme alors le principal iutérêl de la question c'est la périodicité des développements obtenus. [Minkowski3.*.]
