CHAPITRE VII

Les classes d'idéaux des corps.

§ aa. — La classe des idéai x. — Le nombre des classes d'idéaux est limité.

Tout nombre entier du corps k détermine un idéal principal, 'l'uni nombre fractionnaire /. de k peut être représenté par le quotient de deux nombres entiers x et [i

et par suite par le quotient de deux idéaux a et b ■/. = -==-.

Si nous supposons a et b débarrassés de tous leurs facteurs idéaux communs, la représentation du nombre y. par un quotient de deux idéaux est unique. Réciproquement, si le quotienl - de deux idéaux a et b. que ceux-ci aient un facteur corab

m un ou non. est égal au nombre entier ou à un nombre fractionnaire y. = - du corps,

a a on dit que les deux idéaux a et b sont équivalents, ce qu'on écrit a -*• b. De - = — il

résulte (p)fl = (a)6.

Nous reconnaîtrons donc ipie deux idéaux sont équivalents si en multipliant l'un et l'autre par certains idéaux principaux on obtient un même idéal. L'ensemble des idéaux équivalents à un même idéal firme une classe d'idéaux.

Tous les idéaux principaux sont équivalents à l'idéal (i). La classe obtenue ai»si s'appelle la classe principale et on la désigne par i. Si o -»• a' et t> ■*• b . on a aa' -*- bb'.

Soil A une classe qui contient a, et B une classe qui contient b. La classe qui contient ab est dite le produit des classes A et B, et on les désigne par AIî. On a évidemment i . B = B. et réciproquement. Si A . B = B, on a nécessairement A = i .

Il esl parfois avantageux d'employer la notation de quotients d'idéaux. Nous conviendrons que

équivaut à <ib' = a'b ou ab'^-a'b.

Théorème 'iç). — 11 y a toujours une classe B et une seule dont le produit par une classe V donnée est la classe principale.

Démonstration. — Soit a un idéal de la classe A et x un nombre divisible par a, de façon que ~i = ab: suit alors B-la classe de l'idéal b, on a AB = i. S'il existait une autre classe I'.' telle que AB' = r. on aurait ABB'=B'=B.

La classe B est dite la classe réciproque de A; on la désigne par A-1.

On a de plus le fait fondamental suivant :

Théorème 5o. — 11 y a dans toute classe d'idéaux un idéal dont la norme est inférieure à la valeur absolue de la racine carrée du discriminant du corps. [Minkowski l:t.] Le nombre des classes d'idéaux du corps de nombres est fini. [Dedekind ',

Kronceker "\]

Démonstration. — Soit A une classe quelconque et soit j un idéal de la classe réciproque A"1; on sait d'après le théorème 46 qu'il existe un nombre entier i divisible par j dont la norme | n(t) | -^ n(j) | \/</| . Soit i = jn, a appartient à la classe A, et comme | n(i)| = (j)./i(o), on a /?(a)<^ | \Jd\. Mais comme les nombres entiers rationnels <C|\/</| ne contiennent qu'un nombre fini d'idéaux en facteurs, la deuxième partie du théorème ."m est démontrée.