U.XE APPLICATION DU THÉORÈME SUR LE NOMBRE FINI DES CLASSES
I.e théorème 5o que nous venons de démontrer permet bien des déductions, dont nous signalerons les suivantes :
Théorème ."m. — Si // est le nombre des classes d'idéaux, la feième puissance de toute classe donne la classe principale.
Démonstration. — Considérons la suite V, A." Y'' '; deux classes de cette suite
coïncident nécessairement, soient A'' et A'+c. comme A''AP=A'. A.e= i ; il en résulte
THEORIE 1)KS CORI'S Di: NoMHRES \ Il .II1HK il i;S.
que V— i. k A"-1 sonl toutes différentes entre elles. Soil B une classe différente
des c précédentes; 15, Al$ V~'B nous donnent e classes nouvelles différentes
entre elles et différentes des précédentes ; en continuant on voil que h esl un multiple de c, ce qui démontre le théorème 5r.
La li"m'- puissance d'un idéal a est donc toujours un idéal principal.
Théorème ôa. — Soient oc et 8 deux entiers quelconques, il y a toujours un nombre entier -,' différent de o qui divise y et B el susceptible d'être mis sous la forme Y= ?*+ r, p où \ et y, sont des nombres convenablement choisis. Les nombres •;. ;. y, n'appartiennent pas en général au corps déterminé par y. el B. [Dedekind1.]
Théorème 53. — Pour que ■/. et p, •/.* et p" soienl deux couples de nombres du
corps /,■ tels que j = (■/., p) = (•/.". p") . il est nécessaire et suffisant que l'on puisse trouver dans le corps fc quatre nombres entiers a. [j, y, ; dont le déterminant a S — p y == i et tels que
•/.* = ïx. 4- Bp,
[Hurwitz4.]
: ,x + Sp .
Démonstration. — La condition est suffisante, car les équations précédentes permettent d'écrire
P = ïV + av
où % , V , y", 2 sont entiers. De plus, la condition est nécessaire, car si l'on désigne par h le nombre des classes d'idéaux on a j* = (•/.'', p*) = (y.**, p*'') = (-) où - est un entier du corps. Soit
- = [j.y. + vp = [j. y. -+- v p
où [/., v, ;j*. v* sont des entiers de k; alors il est évident que les quatre entiers
# fi— 1 i * * fi— î [Ml X + V pp
m fi — 1 » #ft — i
u.c. y. — u. py.
vp*p"-' + i;.*y.y.*"-'
satisfont aux conditions du théorème 53. On voit que xo — Sy= i en faisant le produit des déterminantes
el
D'après le théorème 12, tout idéal peut être mis sous la forme j = (y„ p). Posons
6 ==- : le nombre entier ou fractionnaire 0 détermine complètement la classe d'idéaux
54 D. UILBERT.
à laquelle appartient j. Nous dirons que h est le nombre Jractionnaire attribué à la classe d'idéaux. Le théorème 53 nous montre que si 8* = — est une autre fraction attribuée à cette classe d'idéaux, il existe dans le corps k nécessairement quatre nombres ■/. ''. •-. î de déterminants i tels que 0 = .
re + s
Sens plis restreint de la notion de classe.
La démonstration du théorème 5o nous donne un moyen simple de trouver par un nombre Qui d'opérations rationnelles un système complet d'idéaux qui ne soient pas équivalents. 11 suffit de considérer tous les idéaux dont la norme <T Iv'M- Pour voir s'il y a parmi ces idéaux des idéaux équivalents il suffit de former tous les produits deux à deux; soit j un de ces produits, cherchons dans j un nombre i=|=o et de norme minima en valeur absolue, il suffira de voir si j = ('.) et de reconnaître ainsi si les deux facteurs appartiennent à des classes réciproques. Le théorème 40 nous montre que ceci pourra s'effectuer par un nombre limité d'opérations. Soil
it im la base de l'idéal j, il suffit de déterminer pour u, um des valeurs
entières rationnelles =|=o telles que les valeurs absolues des parties réelles et des
parties imaginaires de ",'. ',"+••• + ",„'•'„? pour s=i m soient toutes inférieures
à des limites déterminées. Il suffit pour cela d'un nombre limité d'opérations. Nous verrons de même qu'étant donné un idéal un nombre limité d'opérations rationnelles permet de déterminer la class- auquel il appartient.
Nous remarquerons que dans certaines circonstances il pourra être utile de considérer un sens restreint île la notion d'équivalence ou de élusses, et on dira alors que deux idéaux ne sont équivalents que si leur quotient est. un nombre entier ou fractionnaire de norme positive. [Dedekind1.]
§ 20. - l \ THÉORÈME U XILIAIRE RELATIF \ LA VALEUR ASYMPTOTIQUE DU NOMBRE DE TOUS LES IDÉAUX PRINCIPAUX ni I SONT DIVISIBLES PAR IN IDÉAL DONNÉ.
Dirichlct a exprimé le nombre des classes des formes binaires de déterminant donné par une voie transcendante. [Dirichlet7'8.] Dedekind, suivant son exemple et en se basant sur les résultats du chapitre VI concernant les unités d'un corps, parvint à établir une formule fondamentale à l'aide de laquelle le nombre // des classes d'idéaux d'un corps quelconque se présente comme la limite d'une certaine série infinie. [Dedekind1.] Pour atteindre cette formule nous démontrerons toul d'abord le théorème suivant :
Lemme io. — Si / est une certaine variable positive ri T le nombre de tous l<"~ idéaux principaux divisibles par a dont la uorme C /• on a
ï ap<+r>i:r" i R
(='oo t~ M' ' 'Mil) |y'7/|
où w est le nombre des racines de L'unité que l'on rencontre dans A' el où R désigne le régulateur du corps, r , r mil le sens indiqué au théorème '17. I. signifie Limite.
Démonstration. — Soit a, am une base de l'idéal a: toul nombre entier divisible par a est de la forme
dû i\ v sont des entiers rationnels et /,(«), ...,/„,(>) sont des formes linéaires
à coefficients entiers rationnels des i\, ..., vm.
Considérons les i\ vm comme des variables réelles et posons
' [v/«û)l '" IC»«I
ç= ç(w) = uiU) +
