IV

h,, ..., um seront des fonctions bien déterminées de y,, ..., u,„ et ; est une l'orme pour laquelle n(;) = -l- 1. Mous calculerons les r premiers logarithmes de la forme Ç

et de là nous tirerons r grandeurs réelles ejg) e,.(?) telles qu'en désignant par

s e, un système d'unités fondamentales on ait

/,(?l = f1lll/1l£1) +... + <-,.(£)/,(£,).

nous dirons dans le courant de ce S a5 que ces grandeurs e, er sont les exposants de t,.

Si l'on prend pour les i\ vm des valeurs entières rationnelles qui ne sonl pas

toutes nulles, il est évident que le nombre y, ainsi obtenu peut être transformé en le multipliant par des puissances des unités s,, .... s,, en un nombre dont les exposants et er satisfont à

Réciproquement, on voit que deux nombres y,, y,' dont les exposants sont égaux ne peuvent différer que par un facteur qui est une racine de l'unité. Si donc le nombre des racines de l'unité situées dans k est W, wT où T est le nombre des idéaux principaux divisibles par a et de nonne -^ / est égal au nombre des systèmes de

50 D. I1ILBERT.

valeurs numériques entières différentes des i\ vm tels que n(rj -^ / et telles que

les exposants el, ..., e, satisfassent à (i3). Posons

la forme z et par suite les grandeurs ?t(£) /(;), e4, .... er resteront indépendantes île t et contiendront seulement les m nouvelles variables çfl ..., cpm. L'inégalité |n(ï))|<^ devient | n (rt (cp)) I <J. i ; de plus, en vertu de (i3), les /• logarithmes

Ifê) IJz) et à cause de /,(;)+...+ l^t(z) = ln(£) = o ; aussi /,,(;) sont tous en

valeur absolue inférieurs à certaines limites finies déterminées par les tt ir: il en

résulte qu'il en est de même pour toutes les grandeurs |;(t,(£)|, — |;""Vi)| et par suite à cause de I n("o(9))|< i les m grandeurs |-r,<0 Co.)| . ..., h'm|(»)j sont inférieures à des limites finies. Il en résulte que les conditions (i3), en y adjoignant l'inégalité | n (y\ (<p) ) I -^ i, définissent un espace limité dans l'espace à m dimensions déterminé par les m coordonnées ipt, ... , cp;„.

Rappelons que nous avons vu au § 19 que les valeurs fonctionnelles /,(-(•,), ... , /,.(-<-,) nous donnent 2''' déterminations des variables s,, .... tp„, : d'après la définition de l'intégrale multiple on a

I, j „,'IY" j = 2r- / / . . . / d^dv, . . . d<Dm .

où il faut étendre l'intégration à tout le volume déterminé par

o<ei<i o<e.<>- |n(ld»)j|<ï

dans l'espace à m dimensions.

Pour déterminer la valeur de cette intégrale qui est finie, nous ferons le changement de variables suivant : nous prendrons pour nouvelles variables

I'MV|- ■l,.=l,.jh> ■■■• •},„ = /,„©

où ; el y, dépendent de tp,, .... a>m.

Ces m grandeurs sont toutes des fonctions analytiques, uniformes et régulier* de ip, <&m à l'intérieur du domaine d'intégration

1 In a donc

/'■■ fd*,...d»m=f... f\] J"U ...,/•{,,,

D'après les calculs du s 19,

it(?ù. •••• ',JV

nM

(|C plus, Comme

'«iV = /,(r,)+...+UW, l.(ï)='.0Q)--tofo).

/,(Tt), ■■■,/„(-r,)U,(v,) /.(t,), .... /„(t,). /«(t,)

J,fo) ',-<V- /nu,i

/,(!),..., /.(?). fafo]

et comme enfin

in(ï!)

U(i)=U5). •••> Ui) = U5).

ra(ï)) on voit que

l'M'Vl'

L'intégrale précédente a donc la valeur

auxiliaire.

Dans ce qui suit nous poserons

rva)\\/d\ n(a)|\/d|

ce qui démontre Le théorème

a'^'it"" R

Wd\'

de sorte que x est une grandeur déterminée par le corps k seul; et cette grandeur ■/. caractérise le corps k.

S 26. — La détermination du nombre des classes par le résidu de ç(s) pour s= 1,

Théorème 54- — Si l'on désigne par T le nombre de tous les idéaux d'une classe A dont les normes sont -^ t, on a

Démonstration. — Soit a un idéal de la classe A-1 réciproque de A, et supposons que r représente successivement tous les idéaux de la classe A, le produit va représentera tous les idéaux principaux divisibles par a, et ne représentera qu'une fois chacun d'eux. Si donc dans la formule du lemme 10 nous remplaçons - par t = n{a)t' ,

']" représentera aussi le nombre des idéaux r de A pour lesquels n(r)<C''- En divisant par n(a) nous aurons la formule que nous voulons démontrer pour t = t'.

Comme le nombre y. est indépendant du choix de la classe A, le théorème 54 nous amène immédiatement au

Théorème 53. — Si l'on désigne par T le nombre de tous les idéaux du corps k dont les normes sont <^/, et si l'on désigne par /) le nombre des classes d'idéaux,

on a

r=oo /

On peut, par des méthodes analytiques, déduire de cette formule une expression fondamentale pour /*.

Théorème 56. — La série illimitée

Ç(s)=2 -?— , (îjn(l)

où j parcourt tous les idéaux du corps, converge pour les valeurs réelles de s>i, et on a

L [(* — i) Ç(*)} = Ax.

[Dedekind'.]

Démonstration. — Désignons par Y(n) le nombre des idéaux différents de norme on a évidemment, si T a la même signification qu'au théorème 55,

= CO / ll = QO R

La limite du second membre peut être considérée, comme nous allons le voir, comme la valeur limite d'une série illimitée. [Dirichlet 15.] Nous ordonnerons tous les idéaux j du corps d'après la grandeur de leurs normes, nous écrirons la suite j , j ..... j,, ... et nous désignerons la norme de j, par nt; alors

F(i) + ... +F(n,-i)<KF(i) + ,.. + Fi'V

ou

fui- rl'i»-!)^ i\ / <F(l)-f... + l->,\

nj n, *""• n,

il en résulte, d'après le théorème 55,