L -=hM

« 'ist-à-cliro qu'étant donné la grandeur positive S aussi petite que l'on veul il esl toujours possible de choisir un oombre entier / assez grand pour que

pour tous les nombres t'^>l.

D'autre part, on sait que si s désigne un nombre réel >i, la suite

est convergente et que

L («-os! =i.

1=1 ( il) t )

La dernière égalité nous montre que

lorsque t' parcourt toutes les valeurs supérieures à un nombre donné. De plus, l'inégalité — < — — — nous permet de conclure la convergence de la série

pour S>i, t prenant toutes les valeurs entières positives et j représentant successivement tous les idéaux du corps k.

De plus, les inégalités (i4) nous donnent la formule

(hx - 8/(* - i) S 1<(* - i) S ^<{hv. + B)«(* -0 2-i

[l'I ' ICI '!,' CI 1

où les sommations s'étendent à toutes les valeurs entières t' qui sont J> /. l'assaut à la limite pour s = i, on voit que

hx — S< L (s— i) S— j</r/. + 3.

s=M inttj)

Mais on a

et cette limite est à la fois ~^hx — 3 et <^Ax + 3, et comme 3 est un nombre aussi petit que l'on veut, celte limite = hx. Le théorème 56 est démontré.

6o D. HILBERT.

§ 27. — On'A d'autres développements de Ç(s).

Ç(s) peut encore être représentée de trois autres façons différentes F(n)

(n) rr

p-fi' 1 — p-/i« 1 — p-ZV

Dans la première expression la sommation s'étend à tous les nombres entiers rationnels pris pour n; dans la deuxième expression le produit s'étend à tous les idéaux premiers du corps; dans la troisième il s'étend à tous les nombres premiers

du corps. /, , /„ /,, désignant les degrés des idéaux premiers contenus dans p.

Toutes ces sommes et ces produits infinis convergent pour s>i, et comme les tenues sont tous positifs, la convergence ne dépend pas de l'ordre des termes.

§ 28. — La composition des classes d'idéaux d'un corps.

Vous établirons le théorème suivant qui concerne la représentation des classes d'idéaux par des produits. [Scbering1, Kronecker".]

Théorème 57. — Il y a toujours q classes A,, ..., A telles que toute autre classe A

puisse être mise sous la forme A = A*< A*' et cela d'une seule manière; xt ..., xq

prennent les valeurs entières o, 1, a, ... jusqu'à /<, — 1 h , et on a A*'=i,

...,A* = ietA = A1... A,.

Démonstration. — Cherchons pour chaque classe le plus petit exposant et tel que V' = 1. Suit /,, le plus grand de ces exposants ei et soit H, une classe donnant l'exposant ht. Cherchons maintenant pour chaque classe le plus petit exposant e% tel que A'1 soit une puissance de Hs. Soit ht le plus grand de ces ea et soit II., une classe donnant l'exposant ht. Cherchons maintenant pour chaque classe A le plus petit exposant e3]>o tel que A'1 soit un produit de puissance des classes II,, II,; soit h3 le plus friand tic ces e3 et H3 une classe donnant h3. Si l'on continue ainsi on voit que Ton obtient une suite de classes II,, H , II qui ont la propriété suivante ;

Toute classe A peut être mise d'une façon et d'une seule sous la forme

x, x ayant les valeurs indiquées au théorème 67.

Soit

ii.")) ii;,' = n;''ii;'iT'... h;'.

où /<•? el nu </,. '/,,, ", sont certains exposants entiers.

D'après nos conventions

h;< = h?i v ■ • • ii ■•

ni'i bl t 6, sont certains nombres entiers, il faut dune que //, suit di\ isible par /<,

sans quoi il y aurait une puissance moindre que La //; de 11^ <|ni punirait être représentée par un produit des classes II(, 11,^ H,.

Soit ht=-htll\ il en résulte que H"''' est représentable par un produit des classes

H,, H,, c'est-à-dire que atlt est divisible par ht ou epic '(( est divisible par h .

Posons at = hscs, et, au lieu de choisir H,, choisissons la classe EF ^= IIsH~rv : l'égalité (i5) devient

ii;"« = ii'^T>... ir;.

En continuant nous arriverons à remplacer H, par une classe \, telle que \.J*=i. On peut, de plus, faire en sorte que clans ce mode de représentation les nombres

ht h soient des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers.

Suit g=p'p" ... où p'p" sont des puissances de nombres premiers différents; on posera, si B est la classe appartenant à g,

nous aurons alors B',,'= i, B'p"= i, ..., et si l'on écrit

on aura B = B'"'B""" ... . On pourra introduire B', B", ... au lieu de B.

Lorsque les classes A sont choisies de la manière qui vient d'être indiquée, on dit qu'elles forment un système de classes fondamentales.

S 29. — Les caractères d'usé classe d'idéaux. — Une généralisation

DE LA FONCTION Z(s).

Supposons que l'on ait choisi un système de classes fondamentales, toute classe se trouvera bien déterminée par les exposants £Ct, ...-, xq et par suite par les q racines de l'unité

(i2 D. HILBERT.

Os (/ racines de l'unité ■/[ V> sont dites les caractères de la classe A. Si /(A) et /iB) sont des caractères de A et de B, /( AB) = /(A)/(B). Le caractère /(A) d'une classe est aussi considéré comme le caractère y{a) de tout idéal a contenu dans A.

V l'aide des caractères on peut former une fonction qui est une généralisation de la fonction Ç(s) que l'on vient de considérer et qui admet un semblable développement en produit infini. [Dèdekihd1.] Cette fonction est

(i)R(ï)' m i — yjp)n(p) s

où la somme s'étend à tous les idéaux j du corps h et le produit à tous ses idéaux premiers p.