CHAPITRE VIII

Les formes décomposables du corps

S 3o. — Les formes décomposables du corps. — Les classes de formes

ET LEIR COMPOSITION.

Soient \M, ..., ;'"" m formes linéaires des m variables u, um avec des coefficients quelconques réels ou imaginaires, le produit

est dit une forme décomposable de degré m des m variables », , ..., um. Les coefficients des produits de h am sont dits les coefficients de la forme. Si l'on tient

compte des formules

?'logli?lng>;'"?log6(" ? log ;'"" ? log g""'

eu^u, ~ ?«, Su, lur Su,

on voit, d'après le théorème relatif à la multiplication des déterminants, que le carré du déterminant des m formes linéaires ;"', ... , ;""' est égal à

lï-TTS I a'l0gU

Mt~èu, DumDu„

el qu'il est par suite égal à une fonction entière à coefficients entiers de l : on lui donne le nom de discriminant de la forme l . I ne l'orme 1", dont les coefficients son! des entiers rationnels sans diviseur commun, prend le nom de forme primitive ; elle esl une forme unité rationnelle.

Supposons qu'en particulier x( xm formenl une base d'un idéal a. la norme

a il) =:/i(a,u, 4- ■•■ + *,„»„, ' esl une forme décomposable de degré m. Les coefficients de cette forme son) des entiers donl le plus grand commun diviseur esl n(a). Lorsqu'on supprime ce facteur on crée une forme l. à laquelle on donne le nom de forme décomposable du corps /,■ el qui a les propriétés suivantes :

Si l'on remplace la base x, -xm par une autre base •/" -j'm du même idéal a

mi obtient une m nivelle fur me l " qui se déduil de l par une I ransfi irmation linéaire à coefficients entiers rationnels el dont le déterminant =-t- 1. Si l'on réunil toutes ces formes transformées dans le concept de classes de forme, on voit qu'à chaque idéal a correspond une classe de formes. On obtient la même classe de formes en partant de xa au lieu de partir de a. ■/ désignant un innulire < jm-li mique entier ou fractionnaire du corps, c'est-à-dire qu'à chaque idéal d'une même classe correspond une même classe de formes.

Comme il est évident que le discriminant de la forme n(?) = n(o)ï est égal à ruafil, il en résulte :

Théorème 58. — Le discriminant d'une forme décomposable L du corps esl égal au discriminant du corps. [Dedekind1.]

Les propriétés des formes L que nous venons d'énoncer les déterminent complètement ; car on a le théorème réciproque.

Théorème 5g. — Soit U une l'orme primitive, décomposable dans k, mais indécomposable dans tout corps de degré inférieur, de degré m et de discriminant d égal au discriminant du corps, nous pouvons affirmer qu'il y a dans k au moins une et au plus m classes d'idéaux auxquelles appartient cette forme U.

Démonstration. — Soit, par exemple,

un facteur linéaire de U, dont les coefficients sont des nombres de k, nous multiplierons t| par un nombre a tel que

Ç = a-Ji = a1uI + .-. + »,„«„,

suit une forme linéaire à coefficients entiers a, a.m. Posons a = (a, ■/„,): on

voit, d'après le théorème 20, que n (\) = n (a)V , et comme le discriminant de la forme L est égal au discriminant du corps, on voit que

= n(afd.

Il résulte de là, grâce à la réciproque du théorème 19, que ■xl ara formenl la base

de l'idéal a.

Si les deux formes U et V correspondent aux deux idéaux a et t>, la forme W, qui correspond à l'idéal c = ab, est dite une/orme composée de U et de V. [Dedekind1.]

D'après ce qui vient d'être dit, reconnaître si deux formes données du corps k appartiennent ou non à la même classe, cela revient à reconnaître l'équivalence de deux idéaux donnés. Cette recherche n'exige qu'un nombre fini d'opérations.

(Voir § 24.)