CHAPITRE IX
Les anneaux du corps.
S 3i. — L'anneau. — L'idéal d'anneau et ses propriétés les plis importantes.
Soient 0, rr ... des nombres algébriques quelconques appartenant au domaine de rationnalité du corps k de degré m. on appellera anneau de nombres, anneau ou domaine d'intégrité' le système formé par toutes les fonctions entières de 6, ij, ... à coefficients entiers rationnels.
La somme, la différence, le produit de deux nombres de l'anneau donnent un nombre de l'anneau. Le concept d'anneau est donc invariant relativement à l'addition, la soustraction et la multiplication.
Le plus grand anneau du corps est celui que déterminent ai, forment une base du corps. Tout anneau r contient m entiers p, autre nombre de l'anneau p puisse être mis sous la forme
? = «,?,+ ■•• +"„,?,„• a,, ..., am étant des entiers rationnels. On dit que p, pm forment une base de l'an-
■■■ Mm 0U W, <",„
... , pffl tels que tout
neau. Désignons par p', , ..., p'„, le carré du déterminant
Pi' P*.
les nombres conjugués de pt, ... . pn
1 1 • • • > fm
est un nombre rationnel et on le nomme le discriminant de dr de l'anneau r.
1 11 idéal d'anneau ou un idéal de l'anneau r est un système illimité de nombres entiers algébriques a , a2, ... de l'anneau r qui a la propriété suivante : toute combinaison linéaire À,-/, + À. %t + ... appartient au système, les coefficients /.,, /,, ... étant des nombres quelconques de l'anneau /'.
'lOut idéal d'anneau contient m nombres entiers i. i telles que toul nombre
de l'idéal d'anneau soit égal à une combinaison linéaire de La forme
nu at,...,am sonl des entiers rationnels. Les nombres /, i formenl une base
de l'idéal d'anneau.
On démontre l'existence d'uni' hase de l'anneau et celle d'une base de l'idéal d'anneau exactement comme on a démontré l'existence d'une base du corps et celle d'une base d'un idéal aux *>§ 3 et 4-
On a les théorèmes suivants : [Dedekind3.]
Théorème Go. — Soient it im m entiers quelconques <lu corps /.' qui ne sont
liés par aucune relation linéaire a coefficients entiers, il existe toujours un anneau r tel qu'en désignant par A un nombre entier rationnel convenablement choisi Aï,, .... A/m formant la base d'un idéal de l'anneau.
Le théorème Go se déduit du théorème suivant :
Théorème 6i. — Il y a dans chaque anneau r des idéaux d'anneaux j qui sont aussi des idéaux du corps.
Démonstration. — Exprimons <oi <om en fonction des m nombres de hase
le
ailpl -)-... + «,„,?,„
p pm de l'anneau sous la forme
où au, .... alm et V sont des entiers rationnels, il en résulte que tout entier du corps k divisible par A est un nombre de l'anneau et que par suite tout idéal du corps divisible par A est aussi un idéal de l'anneau r.
Le plus grand commun diviseur idéal de tous les idéaux du corps, qui sont aussi des idéaux de l'anneau /', est dit le conducteur f de Vanneau. [Dedekind '.] D'où :
Théorème 62. — Tout idéal i du corps qui est divisible par le conducteur f est aussi un idéal d'anneau de l'anneau r.
S 3a. — Les anneu x déterminés par in nombre entier. — Le théorème concernant
LA DIFFÉRENTE d'lN" NOMBRE ENTIER Dl CORPS.
Les anneaux les plus importants sont ceux qui sont déterminés par un seul nombre entier 0 du corps. Dedekind a fondé sa théorie des discriminants des corps algébriques sur les propriétés de ces auneaux particuliers. [Dedekind ,;.]
-Nous résumerons les principaux résultats de Dedekind dans le théorème suivant :
Théorème 63. — Le plus grand commun diviseur des différentes de tous les entiers du corps k est égal à la différente fc du corps. Soit 3 la différente d'un entier 6 qui détermine le corps et f le conducteur de l'anneau déterminé par 8, ona: = f9.
Démonstration. — Soit w, &>„, une base de k et soient u>[ a>' , to'"'-", .... io""-"
les nombres conjugués de ces m nombres. Formons le déterminant à nr termes u>'" :
et désignons les mineurs relatifs à u>t, .... com par <>, Qm. Les m produits
QQf ----,„ s""' abus m entiers du corps /.■ et ils forment les nombres de base
d'un idéal du corps k.
En effet, multiplions les un — i) lignes horizontales du déterminant QA respectivement par
u + io,' , u + oj" (( + <•>;
où u est un paramètre indéterminé. Le déterminant à m — i lignes prend alors la forme
nù /'( fm sont des fonctions entières à coefficients entiers de a.
D'autre part, le produit des m — i facteurs linéaires i i6) est
où « est un entier rationnel. Si l'on compare les coefficients de u'"~~, on voit que
<d,!J,, est une combinaison linéaire à coefficients entiers rationnels de Qt, Qm, ce
qui démontre que QQ,, .... QQm sont les nombres de bases d'un idéal.
Suit QjJ' le déterminant mineur relatif à o>\[K on sait que le déterminant à m lignes formé par les Qlh est égal à iï"~': par suite, la norme de l'idéal 3 = (QQ1. ..., OQ,„) salisl'ail à
dn!i3) = \Q&? [' = &"-*,
et par suite n(5) = |d|"'1. Mais il est évidenl que le déterminanl d du corps est divisible par J; posons f/ = 3 ' • '1 en résulte que n(j) = |d|.
Suit 0 un nombre quelconque qui détermine le corps; nous pouvons mettre les m nombres de base <lu corps sous la forme
«, + Q tta-f-<8+Ja
am, + «;„, 8 + . . . + aJE? 0"'-2 + 0"-'
où a,, ",. "', "!',"~|JI- ./' fm—t sont des nombres entiers rationnels.
Déterminons maintenant le conducteur f de l'anneau déterminé pat 0 et nous mettrons les nombres de base sous la forme
bl, 6„ b ,, f' /"', .... /','„ étant des entiers rationnels.
D'après le théorème 6a, p1cùm, ?„<■>,„,, ■•-, p,,», ne peuvent être que des fonctions entières à coefficients entiers de 8; il en résulte nécessairement que f[ est divisible par/m,. fa l'est par fm 2 /,'„, par/, et par suite le produit /,'. ...,f'm, est divisible par le produit ./'=/, •■•/„,,• Mais comme n{f)=J\ .../„,,/,' .../,!,, f'm, on a
où </ est un entier rationnel.
Posons, de plus,
On a alors pour la cl i lié rente 3 du nombre 0
et, d'après ce qui a été dit au début,
QO
(-i)-J n {>) = &= fd, i, a±+ f)', a2 + fi'.f)' 4- h'- ',
1 (fié»— <>V"— '
où a, um sont des indéterminées. Développons ce déterminant suivant les éléments de la première ligne, il s'écrira
