H +... + »„, II

Il est facile de voir que ~ ^r sont alors tous des nombres entiers du corps A' ;

ils si ilitieunent . comme le montre la formule 17, en multipliant les nombres

ÛQ ----,„ Pai' ll11 seul °' même fadeur situé dans /,-. Les m nombres — i, .... — p

sont encore les bases d'un idéal ; soit m cet idéal.

Les nombres de l'idéal m sont tous des fonctions entières à coefficients entiers de 0; cet idéal est donc divisible par f. Posons m = f t où lest un idéal dans /,-. Notre équation 1 17) montre alors que

«0H rff(

J-jrfl- — ;

d'où, en prenant la norme, il résulte ur-l=\d\mn(f)n(l)

11 rw

c'est-à-dire /*== n(f)n(i) :

comme d'autre part on a trouvé n(f)=fg, il faut que g= r, ml) = i et par suite n(f)=/\ 3î=fd, S = fj.

Soil maintenant p un idéal premier donné du corps k; nous démontrerons toul d'abord que l'on peut toujours trouver dans k un nombre 0 = p tel que le conducteur ■de l'anneau déterminé par p ne soit pas divisible par p. Soit /; le nombre premier rationnel divisible par p, ji — ç'a où a est un idéal premier avec p; de plus, soit p un entier de k, choisi de telle sorte que tout nombre entier de k soil congru à une fonction entière à coefficients entiers de p suivant toute puissance de p. Le théorème 29 montre l'existence d'un pareil nombre; de plus, supposons p = o suivant a (théorème s5) et que p soit ^i\\ nombre qui détermine le corps. Supposons que le descriminant de p=//'</ où a est un entier rationnel premier avec p.

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. Og

Tout Dombre entier a du corps peul alors être mis s<>us la forme

où F(c) esl nue fonction entière à coefficients entiers de p.

En effet, si &>= llip) suivant y''1' où H(p) esl une fonction entière à coefficients entiers de p. posons co = H (p) -f- <•>*• il en résulte que to'p* esl divisible par //'. Posons uj*p'' = //'x où a esl un entier du corps k. Comme d'après le S 3 tout nombre

entier x peut être mis sous la forme — — où G(c) esl une fonction entière à coeffi-

rf(p)

cients entiers de p, il en résulte w*= — i- et de plus

ap*H(p)-f-G(p)

Cette propriété de p que nous venons de trouver nous montre que Le nombre ap1 se trouve certainement dans le conducteur f de l'anneau déterminé par -r. f n'esl donc pas divisible par p, c'est-à-dire que p = 9 est un nombre répondanl aux conditions indiquées.

Ces derniers développements prouvent que' i est exactement le plus grand commun diviseur des différentes de tous les nombres entiers. D'autre pari, ce plus grand commun diviseur, comme il résulte de la définition de la différente du corps &, contient nécessairement cet idéal & en facteur; nous poserons j=ïjb. Connue suivant le théorème i3 n(p) est divisible par le discriminant d, il en résulte que n(j) = n(l)).c?a où a est un entier rationnel. Mais comme n(ï) — -\-d, il en résulte n(f>)= i, Ij = i, a — ± r .

Du théorème 63 on déduit facilement les théorèmes 3i et 37, ainsi que les affirmations énoncées à la fin du § 12 relatives aux nombres premiers 1 tenus dans le

discriminant du corps. Il suffit pour déduire ces dernières de décomposer le premier membre de l'équation à laquelle satisfait 8 = p suivant le nombre premier en question p. et de raisonner comme il a été fait au Su, pour le premier membre de l'équation fondamentale.

§ 33. — Les idéaux d'anneaux réguliers et lecrs lois de divisibilité.

Soit r un anneau quelconque el i, = [a( "-'•J un idéal d'anneau de r, le plus

grand commun diviseur des nombres de ce dernier est un idéal du corps; nous nommerons cet idéal j=(-/, *,) Yidéaldu corps correspondant à j,.

Lorsqu'en particulier l'idéal du corps j est premier avec le conducteur f de l'anneau /'. nous dirons que jf, est un idéal d'anneau régulier.

TO D- HIIJÎKRT.

Théorème. — Suit j un idéal du corps premier avec le conducteur f, il y a toujours dans l'anneau r un idéal. d'anneau jr auquel correspond l'idéal du corps j.

Démonstration. — Déterminons le système de tous les nombres de l'anneau r, qui sont divisibles par l'idéal donné j du corps. Ces nombres forment dans ;■ un idéal d'anneau ).= (-/,. ..., *s). Ensuite nous choisissons dans le conducteur file l'anneau un nombre entier tp premier avec j et dans j un nombre a premier avec ç. Il existera dès lors deux nombres entiers du corps <\i et p tels que yh + a (2 = i .

Comme c} est divisible par f et qu'il fait partie de l'anneau r, %<i est aussi un nombre de l'anneau r, et comme d'autre part afi esUdivisible par j, oe|5= i — si est

un nombre de l'anneau jr; et par suite l'idéal du coprs j* = (xi atj est premier

avec f.

Comme j* est divisible par j et qu'il divise le produit fj, il en résulte que j*= )• c'est-à-dire que j est un idéal d'anneau régulier auquel correspond l'idéal du corps j. ce qui démontre le théorème 64.

On entend par produit de deux idéaux d'anneaux

ar=K, ...,.,] et br=[fit S,]

l'idéal d'anneau

■,*r=kP.. •••• *.P. *.P|. ■■■• *.M"

Il en résulte évidemment le

ïhéorèhe G5. — Au produit de deux idéaux d'anneau réguliers correspond toujours le produit des idéaux du corps qui correspondent aux facteurs.

Par suite de ce théorème, 1rs lois de divisibilité et de décomposition des idéaux d'anneau réguliers coïncident avec les lois de divisibilité et de décomposition des idéaux du corps premiers avec f.

Dans ce qui suit, nous ne nous occuperons que d'idéaux d'anneau réguliers, nous n'ajouterons plus le mol régulier, c'est-à-dire que lorsque nous parlerons d'un idéal d'anneau il sera sous-entendu qu'il est régulier.

Le théorème :>.'i nous apprend qu'il existe toujours dans le corps k cp(f) nombres entiers incongrus suivant l'idéal f et premier avec f. Lorsque l'un de ces nombres appartient à l'anneau r, cet anneau contient évidemment tous les nombres congrus à celui-ci suivant le conducteur f. Le nombre des entiers incongrus suivant f cl premiers avec f contenu dans /• est un diviseur de tp(f); nous le désignerons par ç>,.(f).

La norme nia,) d'un idéal d'anneau ar n'est autre chose que la norme de l'idéal du corps rt qui correspond à a. Cette définition nous donne les propositions élémentaires relative aux normes des idéaux d'anneau.