Les i m i es d'\ \ wm lu. — Les classes d'i v \xm.\i

Le théorème relatif à L'existence des unités fondamentales se retrouve dans un anneau; la manière la plus simple de le déduire du théorème démontré poui les unités du corps consiste à remarquer qu'il résulte du théorème ■>.'> que toute puissance o(f)ème d'une unité du corps nous donne une unité de l'anneau. Le théorème '17. vrai pour les unités du corps, peut s'énoncer sous la même forme. Désignons ici

par .v le nombre que nous avons désigné par /• au théorème '17. Soient : 5 un

système d'unités fondamentales île l'anneau, c'est-à-dire un système île .s unités dans l'anneau /■ tel que toutes les unités de r puissent s'exprimer au moyen du produit de ces nombres et des racines de l'unité' contenues dans l'anneau. Nmis appellerons régulateur Rr de l'anneau le déterminant des s premiers logarithmes de ces unités pris positivement. Nous désignerons par wr le nombre des racines de l'unité situées dans r. [Dedekind;!.]

Deux idéaux d'anneau a et b seront dits équivalents, s'il existe deux entiers p. et / tels que y.a=lb. Ici nous considérerons le concept d'équivalence dans le sens restreint, c'est-à-dire que nous ferons la réserve suivante : la norme de — est positive.

Tous les idéaux d'anneau équivalents forment une classe de l'anneau. Un idéal d'anneau (a) où x est un nombre entier positif premier avec f est dit un idéal d'anneau principal; sa classe est dite une classe principale de l'anneau. Les autres définitions et les théorèmes relatifs à la multiplication des classes d'un anneau correspondent exactement à ce que nous avons établi aux §§ 22, 28, 29 pour les classes d'idéaux d'un corps: on voit, comme au § 22, que le nombre des classes d'un anneau est limité.

On peut employer pour déterminer le nombre des classes deux méthodes : soil des moyens purement arithmétiques, soit la voie analytique, comme il a été indiqué aux §S 20 et 26. On obtient le résultat suivant : [Dedekmd3.]

Théorème 06. — Soit h et lir le nombre des classes d'idéaux du corps et de l'anneau r, tous deux dans le sens restreint du concept de classes, on a

hf = jp(f)H'Rr

h »,(f)wrR"

Les formations du chapitre VIII se retrouvent dans l'anneau, et l'on peut parvenir ainsi à la notion de forme décomposable correspondant à une classe d'un anneau.

D. IIILBERT.

S 35. — Le module. — La classe de module.

Soient u. y.,„ m nombres entiers du corps k qui ne sont liés par aucune relation linéaire et homogène à coefficients entiers rationnels, le système des nombres de la forme o,^, + ... +«,„!*„, où a,. .... am sont des entiers rationnels est dit un modale

du corps A\ et on l'écrit [p., u,,,]. Le concept de module est un invariant pour

l'addition et la soustraction. On a des exemples de modules : le système de tous les

entiers du corps /,-, un idéal, un anneau, un idéal d'anneau. Deux modules [ij.( ;j.m]

et [X , ...; Xm] sont dits équivalents lorsqu'il existe deux entiers. ;j. et /. tels que

[u,u ij.y.m]= [XX, ^m\- Tous les modules équivalents entre eux forment une

liasse de modules. Dcdekind a pris le concept de module comme base de ses recherches sur les nombres algébriques. [Dcdekind '• 3- '• 9.]

Le carré du déterminant

est, on le voit facilement, un nombre entier rationnel, divisible par le carré de la norme de l'idéal m = (a,, ..., a,„). On désigne par ? le quotient de ces deux carrés. On retrouve la même valeur ^ si l'on forme le même quotient pour tout module équivalent à Q/,t, ..., \j.m]. Le nombre entier rationnel 3 caractérise par conséquent la classe de modules déterminée par [;jl, u.m]; on lui donne le nom de discriminant de la classe de modules.

Les concepts de forme décomposahle et de classe de formes pour le module se définissent d'une façon analogue à celle que nous avons donnée au § 3o pour le corps. FDedekind3.]

Toulouse. — Imprimerie et Librairie É un. Privât, rue tics Arts, 14. — 8353.

TUKORIE

MÉMOIRE de M. David Hilbrkt.

Professeur î> l'Université de GœUingeg.

l'I 111. IK PAR LA SOCIÉTÉ

DEUTSCHE MATHEMATIKER VEREINIGUNG, en 1897.

Traduit par M. A. Li.yy.

Professeui au Lycée Suint-Louis.