CHAPITRE X
Les idéaux premiers du corps de Galois et de ses sous-corps.
§ 30. — La décomposition unique des idéaux du corps de galois en idéaix premiers
Un corps K qui coïncide avec tous ses corps conjugué* est dît un corps de Galois Suit k un corps quelconque de degré m el suit /,', ..., A'""' les m corps conjugués à A
on peut, en réunissant tous les nombres appartenant aux corps k, k' /.'"'
former un nouveau corps K ; ce corps K est alors nécessairement un corps de Galois
qui contient les corps k, k' /,""-'> comme sous-corps. Tout corps A' peut donc êti
considéré comme un sous-corps d'un corps de Galois. Par suite de cette circonstance nous n'apporterions aucune restriction essentielle à l'étude des nombres algébriques si nous commencions par étudier un corps de Galois. et si nous cherchions à voir ensuite comment les lois de décomposition des idéaux de ce corps de Galois se modifient lorsqu'on passe à un des sous-corps qu'il contient.
■y 4 D. HILBERT.
La démonstration de la décomposition unique clos idéaux en idéaux premiers esl très simple pouruncorps"de Galois [Hilbert12]. Pour le voir, nous fixerons d'abord le sens de certaines ai itations.
Soit 0 le nombre entier qui détermine le corps K de degré M: 0 esl une racine d'une équation irréductible de degré M à coefficients entiers el rationnels. Désignons [es M racines de cette équation par
*<-) = (-), sse Sa©,
où s, Su désignent des fonctions rationnelles de 0 à coefficients rationnels. Si
l'on considère s,0 %H connue des substitutions, elles forment un groupe ('< de
degré M . car deux substitutions successives prises parmi ces M nous donnent encore une de ces substitutions. Soit G le groupe du corps de Galois K. Lu idéal J qui ne change pas lorsqu'on y remplace ses nombres par leurs conjugués, c'est-à-dire
lorsqu'on fait les M — i substitutions ss .s5[ sera dit un Idéal invariant. Un idéal
invariant a les propriétés suivantes :
LemSie ii. — La puissance M',me de tout idéal invarianl 3 esl un nombre entier rationnel.
Démonstration. -- Soit A un nombre de l'idéal 3 et soienl V,. A, A5i 1rs
M fonctions symétriques élémentaires des nombres A = x, \ . .v A xm\. Nous
désignerons par A le plus grand commun diviseur des M nombres rationnels entiers
