PREFACE DE L AUTEUR. XIII

duction des nombres entiers imaginaires de la forme a-\-bi\ il posa et résolut le problème d'étendre à ces nombres imaginaires toutes le-, lois de la divisibilité et des propriétés des congruenees des nombres ordinaires. Plus tard, Dedekind cl Kronecker, en développant et généralisant celle pensée et en se basant sur les idées de kumraer ayant une portée plus grande, arrivèrent à établir notre théorie actuelle du corps de nombres algébriques.

La théorie des nombres n'est pas en rapport seulement avec l'algèbre, mais elle est aussi étroitement liée à la théorie des fonctions. Nous rappellerons les analogies nombreuses et merveilleuses entre certains faits de la théorie des nombres algébriques et la théorie des fonctions algébriques d'une variable: de plus, les recherches profondes de Eliemann, qui déduit la réponse à la question de la densité des nombres premiers de la connaissance des zéros d'une certaine fonction analytique. La transcendance des nombres e et - est aussi une propriété arithmétique d'une fonction analytique, la fonction exponentielle.

Enfin, la méthode si importante et à si grande portée imaginée par Lejeune-Dirichlet, pour déterminer le nombre des classes d'un corps de nombres, repose sur des bases analytiques.

Les fonctions périodiques et certaines fonctions à transformations linéaires touchent plus profondément par leur nature intime au nombre : ainsi la fonction exponentielle e-'T-! peut être considérée, comme l'invariant de l'ensemble des nombres entiers rationnels, comme solution fondamentale de l'équation fonctionnelle f(z -\- i )==/(;).

De plus, Jacobi avait déjà ressenti le rapport étroit entre la théorie des fonctions elliptiques et la théorie des irrationnalilés quadratiques; il va même jusqu'à supposer que l'idée de Gauss, citée plus haut, d'introduire les nombres entiers imaginaires de la forme a -+- bi ne lui est pas venue rien que par des considérations arithmétiques, mais aussi par des recherches simultanées sur les fonctions de la lemniscate et de leur multiplication complexe. Les fonctions elliptiques, pour certaines valeurs de leurs périodes, et la fonction modulaire elliptique sont toujours l'invariant d'un nombre entier d'un certain corps quadratique imaginaire. Ces fonctions, désignées % sous le nom d'invariant, permettent de résoudre certains problèmes difficiles et profondément cachés de la théorie des corps algébriques correspondants, et, réciproquement, la théorie des fonctions elliptiques doit à ces conceptions arithmétiques et à leur application un nouvel essor.