XIV PREFACE DE L AUTEUR
>~ous voyons comment l'arithmétique. « reine » de la science mathématique, conquiert de vastes domaines de l'algèbre et de la théorie des fonctions, et comment elle leur enlève le rôle de guide. Que cela ne se soit pas produit plus tôt et dans une mesure plus vaste, cela tient, il me semble, à ce que la théorie des nombres n'a atteint sa maturité qu'à une époque récente. Même Gauss se plaint des efforts démesurés que lui a coûté la détermination du signe d'un radical dans la théorie des nombres: « bien d'autres choses ne l'ont pas retenu autant de jours que cette question 1 a retenu d'années »; puis tout à coup. « comme tombe la foudre, l'énigme est résolue ». La construction de la théorie du corps quadratique a apporté de nos jours un développement sûr et continu, au lieu des progrès par bonds qui caractérisaient la science dans son jeune âge.
Il faut ajouter enfin, si je ne me trompe, que, d'une façon générale, le développement des mathématiques pures dans les temps modernes s'opère principalement sous le signe du nombre : les définitions dues à Dedekind et à Weierstrass des notions fondamentales de l'arithmétique, et les ensembles numériques de Cantor ont établi ce principe, qu'un fait de la théorie des fonctions ne doit être considéré comme démontré que si. en dernière instance, il se ramène à des rapports entre des nombres entiers rationnels.
La géométrie s'est arithmétisée par les recherches modernes concernant la géométrie non-euclidienne; ces recherches tentent d'établir la géométrie avec une logique sévère et s'occupent d'introduire le nombre en géométrie sans prêter à la moindre objection.
Le but de ce rapport est d'exposer un développement logique des faits de la théorie des nombres et leurs démonstrations d'après différents points de vue, et de coopérer ainsi à faire avancer l'heure à laquelle les conquêtes de nos grands classiques de la théorie des nombres seront devenues la propriété commune de tous les mathématiciens.
J'ai évité complètement les citations historiques et les attributions de priorité. Disposant d'un espace assez restreint, je me suis efforcé de rechercher partout les sources les plus riches, et toutes les fois que j'ai dû choisir. j'ai donné la préférence au\ moyens qui me semblaient les plus profonds et ayant la plus grande portée. On ne juge pas en soi-même quelle est. parmi plusieurs démonstrations, la plus simple et la plus naturelle: il faut d abord savoir si les principes invoqués sont susceptibles d'une généralisation et s ils peuvent nous conduire à d'autres recherches.
