S| A, ' . V AMM
De même supposons qu'on ail calculé les mêmes fonctions symétriques el le
même plus grand commun diviseur relatifs à tous les nombres B, I" de l'idéal 3
el soient B, C. ... ces diviseurs.
Suil .1 le plus grand commun diviseur do tous les nombres A-, H- G. ... ainsi
obtenus.
On a
En effet, les nombres conjugués à \ étant aussi des nombres de 3. un a
A, = o. i3i. As==o,(3!) AM = o,(3M)>
el par suite tous les nombres (18) et de plus A soni = o, (3M!).
Comme on peut en dire autant de B. C on a aussi J = 0 d'après 3M: .
D'autre part, les coefficients A , A. *v de l'équation de degré M en A sont
di\ isibles respectivement par J4|; JW! et par suite A esl divisible par .P':; comme
on peut en dire au la ni de tous les nombres B, I". ... de l'idéal 3. il en résulte que 5M!
esl di\ isible par J.
THEORIE ni s CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQI ES. 7.1
Théorème 67. — A chaque idéal *l «lu corps de Galois k on peut faire correspondre un autre idéal 5S. tel que le produit 3193 soit un idéal principal.
Démonstration. L'idéal 3 2fs,3I *<,\%l est un idéal invariant; donc,
d'après le lemme 1 1 . L'idéal
as = 3N'-,.v/2i îmA
c-~i l'idéal indiqué au théorème 67.
Ce théorème G7 permel de développer les caractères de div isibilité dans un coi ps
de Galois, comme on l'a l'ail au paragraphe 5 en vertu du théorème 8 1 1 un corps
quelconque k.
Pour déduire alors des luis de divisibilité dans un corps de Galois.. les lois de divisibilité pour un corps quelconque /,\ il faudra démontrer d'abord dans un corps de Galois les théorèmes de Kronecker i3 et ii relatifs aux formes et on en conclura
l'exactitude de ces lois pour un sous-corps k, ou bien on emploiera un yen
direct et approprié de transposition d'un corps à l'autre. [Hilbert*.]
§ 37. — Les éléments, la différente et le discriminant ni cours de galois.
Certaines notions établies antérieurement prennent un sens plus simple dans le corps de Galois. Ainsi les éléments d'un corps de (jalois sont des idéaux dans le corps lui-même et on a les faits suivants :
Théorème 63. — Les éléments d'un corps de (ialnis K se l ransformenl les uns dans
les autres par les substitutions s, s$. La différente X1 du porps Iv est un idéal
invariant, et le discriminant D = ± Ai ? 1 est comme idéal la Me puissance île X
Démonstration. — Désignons par S.J, QM une base du corps K . les éléments
de K sont des idéaux de la forme
<*, = (Q,-.s\Q QM — 52QM),
®ll = (Qi — silQl, ..., QM-sMQ31).
Appliquons une substitution quelconques- à l'un de ces éléments (* et remarquons que les nombres sQt, ..., .vQ.m forment encore une base du corps; il en résulte que si l'on pose ssi^=si'S :
s&( = (sD1 — s,sQl sQm — s,. sQM) = (*,..
L'invariance de la différente du corps résulte de sa représentation
-t\ D. HILBERT.
§ 38. — Les sous-corps du corps de galois.
Le corps de Galois permet une étude précise des lois de décomposition de ses nombres en tenant compte dessous-corps qu'il contient, et les résultais qu'on obtient ainsi sont très importants lorsqu'on veut appliquer la théorie générale des corps à des corps algébriques particuliers. [Hilbert3.]
Pour caractériser simplement un sous-corps du corps de Galois, nous emploierons
les expressions suivantes : Lorsque r substitutions st— i,s„ sr du groupe G forment
un sous-groupe ;/ de degré r, l'ensemble des nombres de K qui ne changent pas lorsqu'on applique toutes ces substitutions g, forme un corps contenu dans K el de
degré rri= — . Nous nommerons ce corps k le soùs-corps correspondant au sous-
groupe g.
Le corps de Galois appartient au groupe formé par sl = i : au groupe G des M substitutions s correspond le corps des nombres rationnels. — Réciproquement, chaque sous-corps k du corps de Galois appartient à un certain sous-groupe g du groupe G. Le groupe g s'appelle alors le sous-groupe qui détermine le corps k.
§ Hj. — Les corps de décomposition et le corps d'inertie d'i s idéal premier %V
Choisissons dans le corps de Galois K un certain idéal premier %<• de degré/; il \ a un certain nombre de sous-corps de l\ s'emboitant les uns clans les autres, caractérisés par l'idéal premier sp et dont nous allons développer brièvement les merveilleuses propriétés.
Soit /; le nombre premier rationnel divisible par ty ; de plus, soient z, :' . :"
les r. substitutions du groupe G qui laissent invariable l'idéal premier Ç|>; elles forment un groupe de degré r. que nous nommerons le groupe de décomposition de l'idéal premier ty et que nous désignerons par r/.. Le corps k. correspondant au groupe 7. sera dit le corps de décomposition de l'idéal premier $p ; il esl de
degré m = — .
Déplus, soient t, /',/". ... toutes les substitutions s du corps telles que pour toul ie >in lue en lier Q du corps K on ait sQ = Q suivant VT> et soil rt leur nombre, on voil facilement que ces substitutions forment un groupe de degré rt. Ce groupe, nous le nommerons le groupe d'inertie de l'idéal premier y el nous le désignerons par ;/,. Le corps /c, qui correspond à gt nous le désignerons par corps d'inertie de l'idéal premier 9> : il esl de degré "', = — .
Le rapport entre le groupe d'inertie el !<■ groupe de décomposition résulte des
faits suivants :
Théorème 69. Le sous-groupe d'inertie ;/, de l'idéal premier?) est un sousgroupe invariant du groupe de décomposition g. . < >n obtient toutes les substitutions du groupe <lr décomposition el l'obtient qu'une fois chacune d'elles en multipliant les substitutions du groupe d'inertie par 1, z, z', — :'"' . où z est une substitution appropriée du groupe de décomposition.
Démoàstration. — Soit / une substitution quelconque de gt el 11 un nombre entier du corps K. divisible par $>. Posons il' = r'il : on a, en vertu de la propriété du corps d'inertie Q'=<Q' = Q suivant 9, c'est-à-dire Q' = o suivant Çp. L'application de la substitution t donne Q = o suivant l'idéal premier /$p. Comme ceci a lieu pour tous les nombres Q de l'idéal premier?), il faut que «p soit divisible par /?> et, par suite, ?) = fêp, c'est-à-dire que le groupe d'inertie est un sous groupe du groupe de décomposition.
Désignons maintenant par P un nombre primitif de l'idéal premier vT> congru à o suivant tous les idéaux conjugués à $P et premiers avec >p. Le théorème 25 montre que l'on peut former un pareil nombre. 6eci fait, c posons la fonction entière à coefficients entiers de degré M en x :
F(x) = (x — s,V)(x — ssP) ... (as — sMP).
Comme P est une racine entière de la congruence F(a?) = o suivant $P, on sait, d'après le théorème 27, que Pp est aussi racine de cette congruence, el il résulte de là que, parmi les M substitutions, l'une au moins donne sP=Pp suivant ?). Si alors on avait s~ '?) =|= ?>. on aurait, en vertu du choix de P, la congruence P = o suivant s- '.?), et, par suite, sP=o suivant %V ce qui est contraire à la congruence trouvée précédemment.
A cause de s$P = ?) la substitution .s' appartient au groupe de décomposition; posons s = z; en appliquant plusieurs fois de suite la substitution : à la congruence rP=Pp suivant $p. nous aurons
zap = pp*. z'P = Vp\ .... .-'PesP'^seP • (suivant?));
c'est pourquoi z' est une substitution du groupe d'inertie, car tout nombre entier du corps Q du corps k peut être mis sous la forme de Q = P" + II ou = II. où a esl un nombre entier rationnel et II un nombre du corps divisible par «|>. A cause de z ?)=?) on a en effet zrQ = Q suivant ?).
La congruence rP = Pp suivant ?) nous apprend que z^fcPsP suivant ?>, où / est une substitution quelconque du groupe d'inertie gt. Si nous posons z? = z~ltz él si Q est un nombre entier du corps tel que Q = P" suivant (?)), zQ = (zP)a=P°=Q suivant ?), et de même si Q = o suivant $P, c'est-à-dire que z' = z~'tz appartient au groupe d'inertie.
-S l>. HILBERT.
Soit donc l'iP) la fonclion entière à coefficients entiers de degré/de Pqui=o suivant^; alors, d'après le théorème 27, la congruenceP(a;)=o suivant^ admet les racines P, P'', Vp,~' , et d'après le théorème 26 elle n'en a pas d'autres.
Suit maintenant :* une substitution quelconque du groupe de décomposition; il résulte de la congruence P(P) = o suivant ty , que P(z*P) = o, et, par suite.
.-'1' = I"'' suivant ^>, où i a l'une des /' valeurs o. 1 /' — 1. Comme d'autre part
Ppl == z'P, z Jz*P = P suivant >1>. cl. par suite. r~'r* est une substitution / du groupe d'inertie, c'est-à-dire z* = z't.
Toutes les substitutions du groupe de décomposition peuvent donc rire représentées sous cette forme, et comme réciproquement z1t pour i = o, 1, .-.,/ — 1 représente des substitutions distinctes, la dernière partie du théorème 69 est démontrée. Enfin, l'invariance du groupe d'inertie résulte de ce fait que j 7; appartient à ce groupe. De plus, on a rz=frt.
§ 40. -- Uîi THÉORÈME RELATIF Al COUPS DE DÉCOMPOSITION.
Le théorème suivant exprime la propriété la plus importante du corps de décomposition.
Théorème 70. — L'idéal p = %*''' esl situé dans le corps k. et il est un idéal premier de ce corps du premier degré. Dans le corps de décomposition k., p = pa, où a est un idéal premier avec p .
Démonstration. — La norme relative de l'idéal premier <}> par rapporl au corps /.-. est \4.(<l>) = »1>'': . Pour trouver la plus petite puissance de l'idéal premier ^ située dans /.-.. supposons qu'on ail trouvé le plus grand commun diviseur des nombres entiers de k. qui sont divisibles par *}>. Ce nombre esl nécessairement un idéal premier p de /.. , et cou une *V; est dans k. . p est certainement une puissance de s1>, soit p = çpK. Pour déterminer 11, nous ferons les considérations suivantes. Soit A un
11 lire de K qui n'est pas divisible par ^> et qui satisfait à A = zA suivant %* el si
A= P' suivant Ç|>» '=/" suivant // — 1, et, par suite, i est divisible par 1 + p+p' ... + p'~' , c'est-à-dire qu'il n'y a que /) — 1 nombres incongrus suivant <?> de la forme considérée ; on a donc A = a suivant %*, où a est un nombre entier rationnel. De là. il résulte en particulier que tout nombre a du corps kz est congru à un nombre rationnel '/ suivant S£, et par suite aussi suivant p, c'est-à-dire qui' p esl un idéal premier du premier degré du corps k. el la nonne de p dans ce corps /,-.=/).
D'autre pari, dans le corps K , la norme de p satisfait à N(p) = n(p)r', et à cause de p = sV" el de N(«J>) =://, il résulte p"r=prz, c'est-à-dire u=rr
La définition du corps de décomposition donne N(SJ>) = ty*$l, où SI est un idéal premier avec «1>. Si p = pa, on a N($P)=jt/=|/ar, et, par suite, a' = H, ce qui démontre la dernière partie du théorème 70.
THEORIE DES COUPS DE NOMBRES A.LGEBRIQI ES. 7q
§ 4i. -- Le corps de ramification d'un idéai premier -V
N < > 1 1 -~ allons étudier de plus près la nature du corps d'inertie et désigner par \ un nombre bien déterminé du corps K divisible par fy el i par sp5, el nous déterminerons pour toutes les substitutions du corps d'inertie /. /'. /". ... les congruences
l'A = P"'A ' pps),
où " . n . n ". ... sont des nombres < l< la suite <i . i . a /» — 2 .
l'a un i ces substitutions / . /'. /" désignons par y, y', y", ... celles qui correspondent à la valeur zéro des exposants a, <i'. <<". soil r, leur nombre; elles forment, il est facile de le voir, un sous-groupe invariant du groupe d'inertie. N'ousdésignerons ce sous-groupe de degré r, par le nom de sous groupe de ramification (Yerzweigungsgruppe 1 de l'idéal premier %K. et m m s écrirons gr. Le corps /,■, qui lui appartienl sera dit le corps de ramification de l'idéal premier %*.
Le théorème suivanl caractérise les rapports du groupe de ramification et du groupe d'inertie.
Théorème 71. — Le nfroupe de ramification g est un sous-groupe invariant du groupe d'inertie; son degré est une puissance de />. suit r, =/''• On obtient toutes les substitutions du groupe d'inertie et on n'obtient qu'une fois chacune d'elles, en multipliant chaque substitution du groupe de ramification par 1, /, ts /''"' . < ■ i"i
//==— et où / esl une substitution convenablement choisie du groupe d'inertie;
rr
h est un diviseur de pr — 1.
Démonstration. — Soit %*" une puissance assez élevée de vl> pour que pour toute substitution y du groupe de ramification différente de 1. on ait r\ ;i \ suivanl -V". Posons rA = A + BA~ suivant $P3, B désignant un entier de K. il en résulte que iJ' V = A suivant Sp*, el. de même, ypSA = A suivant %*' et ainsi de suite; enfin, vpU~ *A = A suivant %*". 11 en résulte que vpK~ * = 1, c'est-à-dire que le degré r du groupe de décomposition est une puissance de p; soit ;-( . =//.
Suit maintenant a le plus petit parmi les exposants n . a' . a" . ... qui ne sont pas nuls, et soit /( le nombre de ces exposants distincts. Tous ces nombres seront des
multiples de a et coïncident avec- 1.. a, ></ h — i)a; et. de plus. ha=p' — 1.
Nous reconnaissons en même temps que toutes les substitutions du groupe d'inertie
peuvent être mises sous la forme l'v. où i prend les valeurs o. 1 // — r, et où v
parcourt toutes les substitutions du groupe de ramification <jt . < >n a donc
r, = hr, .
Su D. HILBERT.
§ 4a. — Uh théorème relatif ai corps d'inertie.
Le Lhéorème suivant va nous expliquer comment se comportent les idéaux »V et P dans le corps /.', .
Théorème 72. — 'tout nombre du corps K est congru suivant %* à un nombre du corps d'inertie. Le corps d'inertie ne décompose pas p. mais il en élève le degré, en ce que p. en passant du corps k,, où il est un idéal premier du premier degré, se transforme en passant dans le corps supérieur /.-, en un idéal premier du degré/.
Démonstration. — Posons
nous entendons par P un nombre primitif suivant %* et par l une substitution comme au théorème 71, le nombre - est un nombre du corps kv et le nombre 7. est situé dans le corps kt. Pour le démontrer, il suffit de se rappeler que y. reste inaltéré lorsqu'on lui applique la substitution /, car th appartient à gv et parce que les nombres 7:, /-, ..., l''~'r. ne sont pas altérés par une substitution appartenant à gv. Ces deux nombres - et y. sont tous deux congrus suivant l'idéal premier *|> au nombre primitif P. Comme par suite />•, contient exactement// nombres incongrus suivant <l>. p = >1>'' ne peut se décomposer dans le corps A-, et il est dans ce corps un idéal premier de degré/.
S 43. — Théorèmes relatifs au groupe de ramification' et al corps de ramification.
Il est facile dès lors d'établir la propriété caractéristique du groupe de ramification
i'l qui est la suivante :
Théorème 73. — Le groupe de ramification gt se compose de tontes les substitutions s qui, appliquées à tous les nombres entiers Q du corps K, donnent la congruence
sQ = û suivant Sp*.
Démonstration. — Soit Ll de K congru à <■> du corps d'inertie suivant %*. posons par suite il — w = BA suivant Çp*, où A a le sens du paragraphe /ji cl où B est un
1 due convenablement choisi du corps K. Si nous appliquons une substitution u du
corps de ramification, il vient rQ — u> = c(BA) = BA = Q — w, c'est-à dire uQ = Q suivant %*' .
On reconnaît de plus facilement que l'on a :
UI'cilUi: DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQ1 ES; 8j
Théorème -]. - L'idéal pf = >v> esl situé dans le corps de ramification, dans Lequel il a le degré;/", etl'on voit que, dans le corps de ramification, l'idéal v v se décompose en // facteurs premiers égaux.
S Vi- — Les corps de ramifica.tio> soulignés d'us idéal premier Ç|>.
Nous nous proposons maintenant d'examiner de plus près la séparation" de l'idéal v, en facteurs égaux.
Nous désignerons par I. le plus grand exposant tel que pour toute substitution v du grimpe de ramification, tous 1rs nombres entiers du corps k satisfassent à i>Q il suivant vV . el nous déterminerons toutes 1rs substitutions s du groupe de ramification, telles que s il = Q suivant >1>L+I : elles forment un sous-groupe g. du groupe de ramification que nous appellerons le groupe de rarmficalion une fois souligné de l'idéal premier %V Le corps A-., correspondanl à g- sera dil le corps de ramification une fois souligné de l'idéal >1>.
Voici les propriétés les plus importantes de ce corps.
.Théorème 7."). -- Le groupe 'de ramification une fois souligné g- est un sousgroupe du groupe de ramification gv. Soil r- = pi son degré. I »n obtient toutes les substitutions de gv et on ne les obtient qu'une fois, en multipliant toutes les substitutions du groupe de ramification souligné une fois g- par certaines substitutions en
nombre \v , ut, r, (y du groupe de ramification : ici ces // substitutions offrent
cette particularité que pour deux quelconques d'entre elles rt. vt-, on ait toujours une relation de la forme vivi = i\- rT\ où v esl une substitution de g- . L'idéal pr, = V'^ est un idéal premier dans k-: et, par suite, dans k- , l'idéal p^,;=!p? se sépare en pe facteurs premiers égaux; et ë est un exposant qui ne dépassé pas le degré /de l'idéal premier sp.
Démonstration. — Soit A un entier de k divisible par fy el non parSp9; déterminons un système de substitutions vt vr du groupe de ramification tel que, si l'on
P< ise
DâA==A-f-B,Al yA = A + BrAL, (ty> '
les nombres entiers 15( B,. soienl ton- incongrus suivant $p, et tel qu'on ne
puisse ajouter à ce système i\, .... vr de nouvelle substitution qui ne suit en contradiction avec la dernière condition.
Choisissons alors uni' substitution quelconque v' du groupe de ramification g el
posons u'A = A + BAL suivant spL+l, I! sera congru à l'un des nombres 1!, K
suivant >"}>: soit, par exemple, B = B, suivanl %*. il en résulte que y. VV.^A suivant spL+!: Le théorème 72 nous apprend que tout nombre entier LJ de k est congi u
S» I). H1LBERT.
à une expression v, -f- [i, \ H~ ... + /, V ■ sûivanl ^>L4 ' , où xt, [ï, /., sont des nom-
bres entiers du corps d'inertie, ei il s'ensuit que Q satisfait à u;— Ju*Q = Q suivanl -!>''. c'est-à-dire que v~'v* = v ou que u*=:t>.î>. Cette égalité démontre les propriétés du groupe jr- affirmées au théorème 7.").
Posons/- =/>' cl suii <F= J — 7.
On voit comment il faut poursuivre la méthode. Soit L l'exposant le plus élevé, tel que pour toute substitution v l<>us 1rs nombres du corps K satisfont à la congruence ûQ = Q suivant *|>L, nous déterminerons toutes les substitutions v pour lesquelles on a constamment »û = û suivant ■^l'1. Ces substitutions forment un sous-groupe invariant g-, du groupe g-, le groupe de ramification deux J'ois souligné de ï idéal premier 9f$ , soit r==pl son degré; posonse=:7 — T. on a y- = pi,e , où Vr est un idéal premier du corps k= qui correspond à gr.
Km continuant ainsi nous atteindrons le groupe de ramification I mis fois souligné el ainsi de suite. Supposons que le groupe de ramification i fois souligné de l'idéal premier <!> suit celui qui ne contient plus que la substitution 1 : le corps <l<- ramification i fois souligné de tidéal premier sp csl alors le corps k lui-même et la nature de '/, nous est alors parfaitement connue. Il est évident qu'il ne peul exister de corps de ramification soulignés de l'idéal premier x1>. que si le degré M du Corps k est divisihle par p .
45. -- Un résumé rapide des théorèmes relatifs a la décomposition d'in
NliMliRE PREMIER RATIONNEL /) DANS LE CORPS 1)1 (.MOIS.
Les théorèmes démontrés du paragraphe 3g au paragraphe 44 nous montrent tout à fait ce qui se passe lorsqu'on décompose un nombre premier rationnel p dans un corps de < lalois.
S'il s'agit d'un facteur déterminé <J> de p . nous commencerons par mettre p s<>u> la forme p = pa dans le corps de décomposition de sl>. où p est un idéal premîerdu premier degré el où a esl un idéal du corps de décomposition qui n'est pas divisible par p.
Le corps de décomposition de >T> esl contenu comme sous-corps dans le corps d'inertie de vT>. qui, de son côté, ne produit aucune décomposition de p, mais qui i l'ail de v un idéal premier de degré f. Si le corps k esl lui-même le corps de décomposition ou le corps d'inertie, ce premier pas termine la décomposition. Sinon p peul
encore être déc posé en d'autres facteurs dans k. ainsi pdevienl d'abord dans le
corps de ramification la puissance d'un idéal premier^,,, dont l'exposant est contenu dans p— i el n'esl par suite pas divisible par p.
La condition nécessaire el suffisante pour que la décomposition de p soit alors
THEORIE DES CORPS DE NOMBRES AI.GEBRIOI l s.
terminée, esl que p ne soil pas contenu clans le degré du groupe d'inertie el que, par suite, le corps K soit lui-même le corps de ramification.
Dans 1rs corps de ramification soulignés, la déc position se poursuil sans i esse
el les exposants des puissances sonl de la forme p*, //. ... el aucun des exposants ï', r ne dépasse le ilrjjir /'ilr l'idéal premier >V .
La table qui va suivre donne une vue d'ensemble mu les résultats; la première ligne désigne 1rs corps, la seconde les degrés des groupes correspondants, la troisième les degrés des corps, la quatrième leur degré relatif par rapporl au corps immédiatement inférieur, la cinquième les idéaux premiers des corps el leurs représentations au moyen îles puissances de >!> .
Nous admettrons que K esl un corps de ramification trois fois souligné.
Tous les nombres indiquant les degrés ou les exposants dans celle table onl pour loul idéal premier du corps K qui divise p les mêmes valeurs que pour 5|>; ils sont, par suite, parfaitement déterminés par p.
kv
fej
N/j D. HILBERT.
