CHAPITRE XI

Les différentes et les discriminants du corps de Galois et de ses sous-corps.

§ 46. — Les différentes du corps d'inertie et des corps de ramification.

En rapprochai) I 1rs résultats que nous venons d'acquérir de ceux du chapitre \ . nous aurons une source de vérités nouvelles. C'esl ainsi, qu'en vertu du paragraphe ii, nous pouvons énoncer un théorème qui va nous donner les propriétés les plus importantes du corps d'inertie.

Théorème 76. — ha différente du corps d'inertie relatif à l'idéal premier ^> n'est pas divisible par s1>. Le corps d'inertie comprend tous les sous-corps de K dont les différentes ne sonl pas divisibles par *1>.

En ce qui concerne les différentes des corps de ramification, on a les théorèmes suivants :

Théorème 77. — La différente relative du corps de ramification par rapport au corps d'inertie est divisible par s1>''~'' = p*— ' , et elle n'est pas divisible par une puissance supérieure de ty .

Démonstration. — Sdil a un nombre entier de /.,, qui est divisible par y,. = >l>''> mais qui ne l'est pas par p1, et suit \ un nombre de K divisible par >}>, mais ne contenant pas <J>J .

Posons — — = P' suivant *}>. '* désignant un nombre primitif suivant v1>. on a

a=P'A'' suivant pvfy. Soil dès lors /* une substitution quelconque du corps d'inertie qui n'appartient pas à gr et supposons que l'A s ]"'.\ suivant %*". où a* est l'un des nombres a. 2a (/( — \)a [voir § /ji]. il en résultera que

Comme r, est une puissance de p, P"''' =[= 1 suivant s1> . et, par suite. -/. — Fa. ne peut être divisible par p^ , il est donc exactement divisihle par p;i — çp'''. Si. de plus. ,,, esl un nombre quelconque de kv, ce nombre, d'après le théorème -■>.. est nécessairement congru suivant >1> à un nombre wt du corps d'inertie; il en résulte que w — /'ci : -: o suivant pr . D'où nous pouvons conclure que la différente considérée esl exactemenl divisible par $p<''-'>'> = sp''<-''<'.

• in démontre de même le l'ait suivant :

Théorème 78. — La différente relative du corps de ramification souligné une fois par rapport an corps de ramification kv, con'tienl exactement y-"','~''i' = pL"' ~". La différente relative du corps de ramification deux fois souligné k-- par rapporl à k-

contient exactement »1>"\ V = »'"' ~" ei ainsi desuite.

§ \-. — Les diviseurs des discriminants di corps dj galois.

Théorème 79. — Le nombre premier rationnel p est contenu dans le discriminant 1) du corps K à une puissance dont l'exposant est :

m, ! rt—r„ + L(r„ — m) ■+- L(rs — ;*g) + ... j.

Démonstration. — Le théorème 41 rapproché des théorèmes 76, 77. 78 nous apprend que la différente I) du corps l\ contient l'idéal premier Sp exactement à La puissance

/•, — /-,. -|- L(rv — n) +■ L(r3 — r=) + ...

le théorème 68 exige alors l'exactitude de notre proposition.

Dans le cas où il n'existe pas de corps ramifié souligné, l'exposant de p prend dans I) la valeur mt(r, — 1).

D'après ce qui précède, ce cas se présentera toutes les fois que // est premier avec M .

Ce résultat est à comparer aux remarques du paragraphe 12.

Théorème 80. — L'exposant de la puissance du nombre premier rationnel/) contenue dan- le discriminant D ne dépasse pas une certaine limite qui ne dépend que du degré M du corps de Galois k.

Démonstration. - - Tous les exposants L, L, ... qui correspondent à un certain idéal premier >y sont inférieurs à une limite déterminée par le nombre M. Pour trouver la limite de L, nous désignerons par <•> un nombre entier de k- divisible par p-, mais non divisible par pï. et nous choisirons un système de // substitutions u , v c e du groupe de ramification, tels qu'en les composanl avec g- on obtienne </, . Le nombre