ujtu 4- vtu> 4- . . . + ('/M

ne sera pas altéré par une substitution de ;/,. : il appartient au corps kr. D'autre part, ei) = )'ci) suivant »T>' . et, par suite, a =//<•> suivant %*L.

Si donc on avait L>ër,4-r, on aurait x=o suivant p"p- H =|e o suivant p'p-V. Si donc l'on fait » = »a. où a est un idéal du corps de décomposition premiei avec », et si l'on désigne par 7 un nombre de ce corps divisible par a et premier

a vtT avec», ri = — — est un nombre entier de k ; ce nombre serait divisible par p- el ne Pe

NI) D. HILBEJRT.

le serai I pas par p,,5f) . et, par suite, contrairement au théorème -~> , pr sérail un idéal

du corps A, . Comme on peut trouver de mê uni' limite supérieure pour les autres

exposants I nu voit que l'exposaril (indiqué au théorème 70) de la puissance

de /> contenue dans l> ne peu! dépasser une certaine limite qui ne dépend que du degré M du corps k .

Le théorème No a d'autant plus d'importance qu'il limite n priori le nombre des nombres premiers contenus dans M. Rangeons dans un même type tous les corps de degré M puni- lesquels la décomposition en facteurs premiers de M donne les mêmes valeurs pi un- les nombres considérés précédemment. Nous pouvons.affirmer que, pour une valeur donnée de M, il rr'y a qu'un nombre limité de types de corps possibles.

Comme exemple du théorème 80. nous indiquerons le corps quadratique (traité complètement dans la troisième partie de ce livre) et dôn4 le discriminant contient tout m m 1 lue pieu lier impair au plus à la première puissance et le nombre premier 2 au plus à la troisième. (Voir S 59, théorème 95.)