CHAPITRE XII

Les rapports entre les propriétés arithmétiques et les propriétés algébriques

du corps de Galois.

§ /i8. -- Le coups de galois relatif, le 1:1 tues abélien relatif,

LE CORPS CVCLIQl'E RELATIF.

Lorsque le groupe ('• des substitutions st s.v d'un groupe de Galois forme

un groupe abélien, c'est-à-dire lorsque les substitutions s, .iyi peuvenl se permuter entre elles, le corps de Galois K esl un corps abélien.

En particulier, si ce groupe de substitutions ('• esl cyclique, c'est-à-dire si l#s M

substitutions s, .s,, peuvenf toutes être représentées par des puissances de l'une

d'entre elles, le corps abélien K esl dil un corps cyclique.

Lu appliquant aux substitutions d'un groupe abélien les considérations faites au, numéro 28 pour les classes d'idéaux, on arrive au théorème : tout corps abélien esl composé de corps cycliques. D'autre part, les corps cycliques se composenl à leur tour de corps cycliques particuliers, ceux donl le degré esl un nombre premier ou la puissance d'un nombre premier.

Ces notions peuvent être généralisées ainsi :

Soil (-1 une racine de l'éipialion de degré / :

THÉOBIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 87

il. ml les coefficients a x, appartiennent à un corps k de degré m . Supposons de

plus cette équation irréductible dans le domaine k de rationalité el qu'elle aii la

propriété, suivante, 1rs / — i autres racines©' 0' ' de cette équation suni des

fonctions entières rationnelles de 0 donl les coefficients son! di •- bres de /.'.

Le corps de uombre K composé de 6 el des nombres de /, esl ilii alors un corps de (iiilois relatif par rapport au corps A de degré M = lm .

Le degré l de l'équation précédente est le degré relatif de K .

Sil'onpose 0 = 8,0, 0'=-S,0, 0' '=S,0, legroupe des substitutions S,, Ss, ... . S, esl appelé le groupe relatif; si ce groupe est abélien, le corps K est dit un corps abélien relatif par rapport à k. Si ce groupe relatif esl cyclique, le corps l\ esl <lii cyclique relatif par rapporl à k.

S 'ni- — Les propriétés axgébriques m corps d'inertie et tu corps de ramification. — La représentation des nombres di corps de galois par des radii \i \ dans le domaine 1>i corps de décomposition.

A l'aide des no lion s que nous venons de définir, nous pourrons ('nourri' I rès simplement quelques propriétés algébriques importantes du corps de décomposition el du corps d'inertie, ainsi que des corps de ramification, qui sont d'ailleurs une conséquence des propriétés de leurs groupes démontrées plus haut.

Théorème 8i. — Le corps d'inertie kt est un corps cyclique relatif de degré relatif y par rapport au corps de décomposition k.. Le corps de ramification k esl cyclique relatif de degré relatif A par rapporl à kt. Le corps de ramification une fois souligné k- est un corps abélien relatif de degré relatif //' par rapporl à kv; le corps /.'( esl un corps abélien relatif de degré relatif p* par rapporl à k- el ainsi de suile. Les groupes abéliens relatifs des corps k-, A= ... ne contiennent que des substitutions de degré p .

D'après ce théorème 8i, la séparation en facteurs égaux s'opère au moyen d'une suile d'équations abéliennes, el ce résultat exprime une propriété surprenante el nouvelle du corps de décomposition.

Théorème 8a. — Le corps de décomposition de tout idéal premier dans K détermine un domaine de rationalité, dans lequel les nombres du corps primitif K s'expriment uniquement au moyen de radicaux.

Ce théorème 82 met bien en lumière toute l'importance des équations solubles par radicaux; car il montre que dans le problème de la décomposition des nombres en idéaux premiers, les solutions les plus importantes et les plus difficiles se présentent pour les corps relatifs, donl les nombres peuvent être représentés au moyen de radicaux dans certains domaines de rationalité.

; 5o. -- L.A DENSITÉ DES IDEAUX PREMIERS DU PREMIER DEGRÉ ET LE RAPPORT ENTRE CETTE DENSITÉ ET LES PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES DU CORPS.

i est un fait merveilleux que la fréquence de certains idéaux premiers du premier degré d'un corps permet de conclure des propositions relatives à la nature algébrique de ce corps. [Kronecker ".]

Soit k un corps quelconque de degré m et soit pl un nombre premier rationnel qui peut se décomposer exactement en ; idéaux premiers distincts du premier degré. Si la limite

f-[ PÎ

log

existe, eu supposant que la somme écrite au numérateur s'étendeà tous les nombres premiers jïj, nous dirons que les nombres premiers de l'espèce pt ont une densité; -i

■ il le limite a | r valeur A(. nmis dirons que A, est la densité des nombres premiers

de la forme pr Kronecker admet implicitement, dans ses recherches, que li ss nombres

premiers des //; sortes pt , pt pm ont une densité. La \érité de cette hypothèse n'a

pas encore été démontrée (*). Par contre, on arrive à démontrer le théorème suivant :

Théorème S'A. — Si m — i sortes i\r nombres premiers parmi les/» sortes pt pm

d'un corps de degré m ont une densité, la m aussi a une densité el on a entre les m « 1 • utiles la relation

A, + aA,+ ... +mAm=i.

Démonstration. -- Employant la deuxième expression de Z (s) indiquée au numéro >7 et prenant le logarithme, il vient

ci '

log Us) = V + S.

2 — ' n(pf ' — n(pf

Dans le cas où le groupe de l'équation qui détermine /.' est le groupe symétrique, les

remarques de Kronecker permettenl de déterminer les densités A A„, : Frobenius a

démontré l'existence de ces densités et a déterminé leurs valeurs; ce smii des nombres rationnels qui dépendenl du groupe de l'équation de A". [Frobenius1.]

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 8g

où les sommes s'étendent à tous les idéaux premiers p du corps. Désignons par pt les idéaux premiers du premier degré ; nous aurons évidemment

— n(pt) — '/', — Ps — i>,n

où la somme du premier membre s'étend à inus les idéaux du premier degré el où la somme du second membre s'étend à huis les nombres premiers rationnels/>,, p, p,„.

Nous remarquons, d'au Ire part, que pour tous les idéaux p de degré supérieur au premier n(p) ^/»*. el qu'un nombre premier quelconque p contient au plus m idéaux premiers ; il en résulte que

—.«(pi — < /Mi>,) '" — 'y-»" — ' /'"

ip) iv,l (/') (A)

où la dernière somme s'étend à Inus les entiers // ^> i . On trouve de même que

On déduit de ces inégalités que

logÇ(s)- V — —

tend vers une limite finie pour s = i.

D'après le théorème 5G , log L'(.v) — log tend aussi vers une limite finie

pour .s : = i ; on peut en dire autant de

c'est-à-dire que