CHAPITRE XIII
La composition des corps de nombres.
S 5i. — Le corps de Galois composé dis corps k et de ses conjugués.
Théorème 85. — Si des deux corps kt et A. on compose un corps R, le discriminant du corps composé contient comme facteurs premiers rationnels ceux contenus dans le discriminant de k , on dans celui de />•„, ou dans les deux, et ne contient que ceux-là.
La démonstration de ce théorème résulte immédiatement du théorème 3ç). Une conséquence immédiate du théorème 85 est la suivante :
Théorème 86. — Si d'un corps k de degré m et de Ions ses corps conjugués k'
A"" '' on compose un corps de (ialois R. le discriminant du corps R contient tous les facteurs premiers de k et il n'en contient pas d'autres.
S 52. — La composition de dei x corps dont les discriminants sont premiers entre i.i \.
Le cas de deux corps dont les discriminants sont premiers entre eux présente un intérêt particulier. Le théorème le plus important et le plus fertile de ce cas est le suivant :
Théorème 87. — Deux corps kt et A., de degrés respectifs mt, m,, dont les discri minants sont premiers entre eux, se composent toujours en un corps de degré mjnt.
Démonstration. — Snil K, le corps de Galois composé de kt et de tous ses conjugués; le discriminant de K,, d'après le théorème 86, est premier avec celui de kt.
THEORIE DIS CORPS I" NOMBRES ALGEBRIQ1 KS. (|l
Sciii 3 11 11 nombre qui détermine kt; ce nombre est racine d'une équation irré ductible de degré mt à coefficients entiers el ratii mnels.
Si donc le corps composé de A, el de /. . étail d'un degré inférieur à /»/,///.. cette équation se réduirai! dans le domaine /.,. c'est-à-dire que : sérail racine d'une équation de la tonne
de degré i-<^mt et dont les coefficients y-t ?., seraienl des nombres de A . . Soil A'
le corps de nombres formé avec x, , ..., ar. Comme 7, y.r peuvent être exprimées
rationnellement en fonction des racines de la dernière équation, k esl un sous-corps de kt, el ci un nie /,■ esl aussi un SOUS-COrps de A*s, le disn iniinanl de A d'api es le théorème 3g diviserai! celui de kt el celui de A- . el le discriminant de ce corps A sérail égal à i. ce qui est contraire au théorème ]\.
Nous signalerons encore les faits suivants, faciles à vérifier.
Théorème 88. — Si kt el A-, si.nl deux corps, le premier de degré m,, le second de degré m„ de discriminants </, el dt premiers entre eux. le discriminant du corps composé K est d™=df< .
On obtient les nombres d'une hase du corps k, en multipliant chacun des m, nombres d'une base du corps kt . par chacun des m,, nombres d'une base du corps A-,. Soit /) un nombre rationne] qui se décompose en p=zprl: pe,3 ... pf.' dans kt et en p = q1 qs... (f3, où pt pr sont des idéaux premiers distincts de k , et <\t. c\
des idéaux distincts de A,; on a dans K la décomposition p = I I 3,/. "ù le produil
s'étend à /=i r. /=i .y. et où 3M est l'idéal de K défini comme étant le
plus grand commun diviseur de v, el de qr Les idéaux J;, ne sont pas nécessairement des idéaux premiers de K .
Lorsqu'on part de deux corps A\. A', de discriminants quelconques, la solution de la question ne devient simple que si l'on fait des h\p"tlièses restrictives sur la nature du corps et des nombres premiers que l'on voit décomposer. [Hensel '.]
Les résultats exposés dans les chapitres X à Mil me semblent être les principes les plus importants d'une théorie des idéaux et des discriminants d'un corps de Galois. Les méthodes suivies pourraient encore être développées dans bien des directions, en particulier on pourrait étendre sans y changer beaucoup au corps île Galois relatif une série de théorèmes démontrés depuis le paragraphe .' > i ) jusqu'au paragraphe 44. [Dedckind".]
I). HII.BERT.
