CHAPITRE XIV

Les idéaux premiers du premier degré et la notion de classe.

*i â.'i. — Les idéaux premiers di premier degré engendrent des classes d'idéaux.

Il est intéressant de voir que les principi :s développés il. m- les chapitres \-\ll éclairent aussi la génération et la nature des classes d'idéaux. Nous exposerons dans ce chapitre el dans le suivant les théorèmes généraux importants relatifs à ces questions. Le premier théorème concerne la génération des classes d'idéaux d'un corps de Galois au niuyen d'idéaux premiers du premier degré et s'énonce :

Théorî me 89. — Dans toute classe d'idéaux d'un corps de Galois il y a des idéaux dent l"ii- les facteurs premiers sont des idéaux du premier degré.

Nous démontrerons d'abord le

Lemme 12. — Soit K un corps de Galois de degré M et de discriminant D et vT> un idéal premier de ce emps de degré /> 1 qui n'est pas contenu dans DM!: il \ a toujours dans K un nombre entier Q premier avec DM! . divisible par %* et non par >T> . d dont tous les autres facteurs premiers sonl de degré inférieur à /.

Démonstration. — Soit p un entier du corps K. tel que tout autre entier il —il congru à une fonction entière à coefficients entiers de p suivant (SP)!. D'après le théorème 29, ce nombre existe. Désignons par ffi) rl>""'i les idéaux conjugués de

>J> el distincts de çp, et déterminons un nombre A de K qui satisfait aux con-

gruences

A = o (^'sp»...^"»»),

El soil : une substitution du groupe de décomposition telle que rp = p'' suivant V. il esl évident que les/— i différences A — -A. A — -"A- A — ~~'A sont premières avec -V- Si. d'autre part, 5 est une substitution n'appartenant pas au groupe de décomposition, *A f,sl divisible par S|>, el . par suite, la différence A — S'A est première avec •}>. La différente de a sera donc aussi première avec s1>. et il en résulte que a esl un nombre qui détermine K. d'après une remarque antérieure. En tenant conq île du théorème 3 1, on voit que K est le corps d'inertie de *}> el. par conséquent, A satisfait à une équation de la forme

Af+ «.A'-' + ■■• +07=0, où ■/i x, sont des nombres du corps de décomposition k de l'idéal premier 0.

Nous désignerons par k', k", ... les autres sous-corps de même degré -7; A esl alors racine des équations

a4' a.' étant des nombres de k', a,"; .... a." des nombres de k", etc. Déterminons,

dès lors, y nombres entiers rationnels tels que

ceci esl possible, car. d'après le théorème 70, <J> esl du premier degré dans k. Soient ensuite bl b., /entiers rationnels satisfaisant aux congruences

Mlb^a, W.bfmaf. (p),

et pour lesquels, de plus, aucune des différences appartenant à l'indice 1

pi = M!6, — «,, p/ = M! &, — ;/./, ... ne s'annule.

Nous poserons, de plus,

B = A'+MJ(èlA'-, + Mr, + - + *V)-

Enfin, nous désignerons par qt ql les nombres premiers rationnels tous

différents dep, qui sont contenus dans le discriminant A de A ou dans les normes <\r> nombres [\. p,', ... ej qui sont plus grands que M. Soit q\ un quelconque de ces nombres, il ne peut contenir dans I\ que M facteurs premiers au plus; il faudra dune que l'un des </, nombres (7,>M). B- B + '• B + 2. ... , B + '/, — '. soil premier avec qt\ soit, par exemple, B + '', un nombre premier avec qr Si l'on calcule un nombre entier rationne] c qui satisfait aux / congruences M!pc = c, suivant 7,

pour i= 1. 2 /.

Q = B +W.pc

est un nombre qui a les propriétés exigées par le lemme 12.

En effet • d'après la congruence A — ' suivant M!, le nombre Q esl premier avec tous les nombres premiers rationnels -^ M ; et, à cause des conditions qui nous ont servies à déterminer c, Q est premier avec tous les nombres premiers rationnels contenus dans À et supérieurs à M. Le nombre Q est donc premier avec tous les nombres premiers rationnels contenus dans A et différents de p.

De plus. Q est divisible par %<> et non par #', %*" SP1"", car W.bfs=af=£o

suivant />. Le nombre Q esl de la forme

Q = A' + '»,A'~' + •■• +mr

où m t .... m si Mil des entiers rationnels. Coin me A = P suivent »}>" et que p ne peut satisfaire à aucune congruence de degré inférieur à if suivant %*'", Q ne peut pas être divisible par *1>\ Si. d'autre pari, il était divisible par un idéal premier S de

degré />/ et si l'on désignait par 1, z', z's ;r~' les f substitutions du groupe

de décomposition de C par lesquelles ce dernier groupe résulte du groupe d'inertie. nu aurait 1rs /" congruences

et ceci exigerait que le discriminant \ de A soit divisible par C, ce qui n'a pas lieu.

Enfin, supposons que Q suit divisible par un idéal premier G de degré/; l'un des corps k, /.', le", ... serait le corps de décomposition de Cl. soit, par exemple, le coips k'.

Ecrivons alors Q sous la forme

Q — (Af + a/A'-' + ■•• + */) = !VAA 1 + ••• + p/.

où ),' /,' sont des nombres de k'. Si i. z', z" :''"' sont les /' substitutions

qui font résulter le corps de décomposition de C de smi corps d'inertie, on voit que

,Va'~' + ••■ + ,V = o. (d),

et ces congruences démontreraient que soil \. suit pt', fut divisible par C ce qui est contraire à ce qui précède.

Dans chaque classe on peut trouver un idéal premier avec DM!: on voit alors facilement, en tenant compte du leinme 12, qu'on a le droit d'affirmer le théorème 89. kummer l'avait déjà démontré pour le corps circulaire (Kreiskërper). [Ruminer11. 1