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'vous allons démontrer une série de théorèmes fondamentaux concernant les ■ orps abéliens relatifs. Pour mieux pi m voir les énoncer e| les démontrer, nous allons fixer quelques notations et quelques définitions.
Suit K un corps de nombres de degré //)/ . cyclique relatif par rapport au corps A:
THEORIE DKS CORPS DE NOMBRES ALGËBRIQ1 ES. q5
dedegrém, le degré relatif / étant un nombre premier. Soienl i, s. S' S ' les
substitutions du groupe cyclique relatif. Enfin, nous définissons ainsi la notion de puissance symbolique d'un nombre A du corps K : Suit a un nombre quelconque de K entier ou fractionnaire el soient a, at, a. a(, des nombres entiers rationnels quelconques, nous écrirons
A"(SA)a'(SAa)"= ... iS'-'A)'''sous la forme abrégée
où F(S) désigne la fonction entière à coefficients entiers qui constitue l'exposant du premier membre. La puissance symbolique de degré F(S) de \ est à son tour un nombre entier ou fractionnaire de K. (les exposants symboliques peuvent être considérés comme une généralisation d'une notation introduite par Kronecker au sujet du corps circulaire. [Kronecker1.]
Ceci posé, nous aurons une suite de théorèmes.
Théorème 90. -- Tout nombre entier ou fractionnaire A de K. dont la norme relative, par rapport a /,', est égale à 1 peut être considéré comme la puissance symbolique de degré (1 — S) d'un certain nombre B du corps K.
Démonstration. — Soit ./■ une variable et 0 un nombre qui détermine K; posons A,= ^±|)A = (x + e)-A •
et
B., = . + A:. + Ar + A:+s+:J + ... + Ar+S! si
el remarquons qu'en vertu de l'hypothèse
A et que, par suite, on a aussi
A', il en résulte «pu1
B, est une fonction rationnelle de x qui n'est pas identiquement nulle: on peut donc trouvei' un nombre x = a tel (pie B„ ne soit pas nul dans K. Le nombre
8 "« + (-) satisfait alors à
Posons B* = t-. où B désigne un entier algébrique de K et /< un entier rationnel; on a aussi
1). HII.lfKKT.
§ -,,-, — le système des unités fondamentales relatives. — On démontre
qu'elles existent.
Un deuxième théorème important concerne les unités du corps K. Supposons que. parmi les m corps conjugués déterminés par k, i\ soient réels et qu'il y ait r couples de corps imaginaires conjugués, d'après le théorème k~ le nombre des unités fondamentales de k est r = rt + /'., — i. Nous entendrons par système d'unités fondamentales relatives du corps K par rapport à k un système de r + i unités H,. H H,. , du corps 1\ , telles qu'une unité de la forme
Hhr] ... h^iWh
ne peut être la puissance symbolique de degré (1 —S) d'une unité de k que si les entiers algébriques l\Cl), ..., F(r+.0(Ç) sont Ions divisibles par i — Ç.
Ici, F,(S), F(l,.(S) sont des fonctions entières à coefficients entiers de S,
[s] est une unité quelconque de k ou une unité du corps K. dont la puissance /""' est une unité dans k; et enfin, Z est une racine /"'"* de l'unité différente tir r.
Théorème 91. — Lorsque le degré relatif / du corps K cyclique relatif par rapport au corps A- est un nombre premier impair, K possède un système de r + 1 unilés relatives fondamentales, où r a par rapport à k le sens du théorème 47.
Démonstration. — Comme l-\z 2 parmi les lin corps conjugués déterminés par 1\ , il v a h\ corps réels cl lr. couples de corps imaginaires. Soient zt, 1, ir un système de r=r + r, — 1 unités fondamentales du corps k. Choisissons parmi les unités de K une unité E, • telle que E, ■ =-,■ ■■■ '-,. soil im système d'unités indépendantes; nous pouvons affirmer qu'alors
forment un système d'unités indépendantes.
Pour le démontrer, supposons qu'il n'en-soil pas ainsi et imaginons E,lS, = s"> où iï(Si est une fonction entière à coefficients entiers de degré (/ — 2) qui n'est pas identiquement nulle et où i* est une unité du corps k. Comme la fonction 1 + S +-...+ S' ' est irréductible (comparer à la remarque qui termine le § 91 1. on peut déterminer deux fonctions entières à coefficients entiers. G, el G, de S. el un nombre entier rationnel a différent de zéro, tels que
thkorik di:s cours m-: nomiîkes ai.i.i briqi ES. 07
Il en résulte, en tenant compte de
p!+SH ...+S*— l __ .««
que
Eu __ ••• 1 & '
ce qui est contraire à l'hypothèse, [ci, :" el 1" sont des unités de /.'.
Choisissons maintenant E. telles que E.- E,. Ej E*' '. ;, î,. forment un
système d'unités indépendantes; nous montrerons, comme précédemment, qu'alors
aussi les unités E,. E* E]'~;- E, Ef'-a. ;, s, forment un systè
d'unités indépendantes. En continuant ainsi. obtiendrons r — r. — r ± 1 unités
E, E,. ,. telles que les imités
forment un système d'unités indépendantes. Le nombre de ces unités est
Soil maintenant /"' une puissance assez élevée de /. pour que l'expression
où F,(S), .... Fp ,(S) sont des fonctions entières à coefficients entiers quelconques de S et où [1] a le sens indiqué au début du paragraphe el ne puisse, devenir la puissance d'exposant /'"d'une unité de I\ que si tous le- coefficients des fonctions F,(S), ••• • Fr,(S) sont divisibles par /. On voit qu'un pareil exposant /"' exisie si l'on considère les li\ -r Ir, — 1 unités du corps k données par le théorème '17. Tenons compte maintenant de l'identité
(1— S)'=i— S' + ZG(S)
où (i est une fonction entière : coin me d'après cela la 1 1 — S)'"'ème puissance symbolique d'un nombre de k est aussi une véritable puissance /'"ème. il en résulte que l'expression (20) ne peut être la puissance symbolique d'exposant (j — S/" d'une
unité que si tous les entiers algébriques F,(l) F ,(Ç) sont tous divisibles par
Soil ej le plus grand nombre entier rationnel ~^ o, tel qu'une expression de la forme (30) soit une puissance symbolique d'exposant 11 — Séi d'une unité, sans
que tous les nombres F,(Ç) F, ,(Ç) soient Ions divisibles par i — 1: admettons
ipie
soit une pareille expression où Ft(S) F, ,(S) sont certaines fonctions entières
rationnelles de S et où F,(S), par exemple, n'est pas divisible par 1 — £; [s] a la signification précédente et H, f,sl une certaine unité de k.
g8 1). H'I.llERT.
admettons maintenanl qui' e, esl le plus grand entier ^-o loi qu'il exisle une expression correspondante forméedes unités E, E, ,. qui suit la puissance symbolique de degré | i — S)e= d'une unit • de K. suit
où I-'.' S ' F. ,(S) sont encore des fonctions rationnelles entières de S et où Fm(Ç),
par exemple, n'est pas divisible par i — 1. En continuant ainsi, nous trouverons r+ i unités. H,- H.- ••.-. H, ,. qui forment un système d'unités relatives fondamentales de K .
Pour le démontrer, admettons qu'il n'en soit pas ainsi; il y aurait alors /■ + i fonctions entières rationnelles G,(S), .... Gr ,, telles que
Hr ... H;^i(s,w=z'-s.
"ù Z esl une unité de K; soit, de plus, parmi les nombres G,(£) Gr ,(?), par
exemple GA(Ç), le premier, qui n'est pas divisible par i — 1. il esl évident que la seconde partie du dernier produit, c'est-à-dire
uG»ts> u'VmIS) Lj'''-'Fr-l
serait aussi la puissance symbolique de degré' i — S d'une imité du corps K. Mais
dans La suite des nombres et, e, er . , aucun ne dépasse le précédent: en élevant
le dernier produit à la puissance i i — S)e* et en introduisant les unités E,, E,,
nous nous heurterions à une contradiction.
Ce théorème 91 est vrai aussi pour 1=2, comme on le voit facilement. -~i , parmi les 2m corps conjugués déterminés par K, il y a deux fois autant de corps réels que dans les m corps conjugués déterminés par /,-.
5 56. — L'existekce uni; 1 nité de K. dokt la nobme ri i.vtive est égale a i et quï
( EPEKDART x'rsT PAS LE <JI OTIEKT DE DEUX USITÉS RELATIVES COKJBG1 CES.
Tin', 1 i mi 92. — Dans le cas où le degré relatif / du corps cyclique relatif K par rapport à /, e>i un nombre premier impair, il y a toujours dans k une unité H. dont la norme relative par rap] ort à /,' esl égale à 1 el qui n'est pas la puissance syml 1 lique de degré (1 — S) d'une unité du corps K.
Démonstration. — Admettons d'abord que le corps k ne contienl pas la racine /""'
de l'unité '.'. Soienl t,( \ , f+i unités quelconques de A"; il en résulte qu'il
existe toujours r + 1 entiers rationnels a, », ,, qui ne sont pas tous divisibles
par / el tels que v "' r,"'~' — 1. En effet, si dans celle dernière égalité Ions les
exposants a, ai i élaienl tous divisibles par /. r,' ■■■ r,' sérail racine Pme de
THEORIE DES COUPS l>K NOMBRES ALGEBRIQUES. (JIJ
l'unité, qui serait = i en vertu de l'hypothèse; de là, par la répétition du procédé,
résulte la démonstration. Si y, n , sont 1rs normes relatives des H, H, ,
unités fondamentales de k el que nous posions
— n, • • • n,.+| > il en résulte que
N4(H) = H'+S+SJ-f-+S'"1 = i
el par suite, d'après le théorème 90, H = A' s: comme H, H, , sonl des unités
fondamentales relatives, il en résulte que A n'ësl pas une unité.
Pour démontrer le théorème 9a dans le cas général, nous admettrons que k contienl la racine primitive y 1 =£', niais qu'il ne contienl pas la racine primitive d'indice /'' '. On reconnaît, par un procédé analogue au précédent, que si rlt rh ,
sont r+a unités quelconques de k, on peul toujours trouver un nombre entier rationnel a et, de plus, /• + a entiers rationnels at, — ar t non tous divisibles par I, tels que
Considérons, d'autre part, que la nonne relative
et que par conséquent, d'après le théorème 90, Ç doil être une puissance symbolique
de degré (1 — S). Si donc il n'y avait aucune unité E de /,', telle que ','= El-S. -' serait lui-même un nombre répondant à la question. Dans le cas contraire, il faut <|ue E"'~£,= 1, c'est-à-dire E'=? SE', et, par suite, E* serait une unité =defc, tandis que E
lui-même n'est pas dans k. Comme E = Vî' on a \(E) = E' = £• Soil H, H, ,
un système d'unités relatives fondamentales dans k, nous poserons
■C-,= N4(H,) v„. ,= \(Hrl). -',,..,= \(E) = E'.
h = h;* ... H:-'E"'"jr" = H:' ... h;-'w-
où a, at, .... absout les non i lues déterminés précédemment, et où [s] est la racine /"""
d'une unité du corps k; alors \(H,)=i. Les nombres a, at, , ne peuvenl pas
tous être divisibles par /. ( !ar de
on tirerait
où b est un entier rationnel. Comme d'après noire hypothèse «,., ne peut pas aussi être divisible par /. il résulterai! des dernières égalités que E est dans k, ce qui n'a pas lieu. L'unité H remplit toutes les conditions du théorème 9a.
I i M ) D. IIILBERT.
Les théorèmes 90, 91 et 92 ont été démontrés en partie et sous une autre forme par Ruminer, dans le cas où le sous-corps k csl le corps circulaire (Rreiskorper) de degré l— 1 déterminé par '.;. [Kummer14A!l],
^ .">-. — Les idéaux ambiges et i.a différente relative di corps ctcliqde relatif Ix .
Lorsqu'un idéal 31 du corps cyclique relatif reste inaltéré après la substitution S cl qu'il ne contienl aucun facteur qui soit un idéal de k, on dit que 31 est un idéal ambigé. En particulier, un idéal premier du corps K qui n'est pas altéré par la substitution Set qui n'appartient pas à k esl ilil un idéal premier ambige.
Théorème q3. — La différente du corps cyclique relatif K. par rapport à />• contienl tous les idéaux premiers *1> qui sont ambiges et elle n'en contient pas d'autres.
Démonstration. — Soit *1> un idéal ambige; sa norme relative est N,i>1>) = *1>'. Comme k ne peul contenir une puissance inférieure de vT>, %l>' = v est un idéal premier de k. Réciproquement, si p idéal premier de /,■ est égal à la leme puissance d'un idéal %* dans K . <|> est un idéal premier ambige.
Nous distinguerons trois espèces d'idéaux premiers p du corps k : d'abord. cc\\\ qui sont égaux à la /•'""' puissance d'un idéal premier <J> de R; deuxièmement, ceux
qui dans Ix se décomposent en / idéaux premiers distincts de Ix . s1>, «!>,: et enfin
ceux qui sont aussi des idéaux premiers de k.
Dans le premier cas. la norme Ni >!>) = //, d'où N(p) = N($P') = p'r, et, par suite, la -norme mp\ de l'idéal premier p du corps k est aussi égale à pr. L'égalité des nonnes permet d'affirmer que tout nombre entier de R est congru à un nombre entier de k suivant $|>; ceci permet de reconnaître que la différente relative de k par rapport à k est nécessairement divisible par %*.
Dans le second cas. on peut toujours trouver dans k un entier A qui n'esl pas
divisible par vl>, . mais qui l'est par tous les autres idéaux premiers^, Wt-i >
<}>( ( tyt; c'est ce qui fait que la différente relative de A- et par suite celle du
corps Ix , n'est pas divisible par tyr
Pour ce qui concerne enfin les idéaux p de la troisième espèce, suit p un nombre primitif suivant l'idéal premier p de k et p un nombre primitif suivanl p dans /,-, et supposons aussi que p soit un nombre qui détermine le corps, p satisfait alors à nue équation de degré /de la forme
h pi = p' + a,p'-' 4- ... . + «, = 0,
dont les coefficients at, st. sont des non dires entiers de /,'.
