DEPARTMENT OF MATH ;.«,\TICS UNIVERSITY OF TORONTO

THEORIE DES ËORPS DE NOMBRES ILGEBRIQ1 I s. lui

Pi iSI iii^

où /',< : i /',' : i sonl des fondions entières à coefficients entiers de : . \ous obtiendrons la congruence

Comme N(p) = (n[p])', le nombre, clos entiers de K incongrus suivant p esl égal à la /'""' puissance «lu nombre des entiers de k incongrus suivanl y. p ne peul satisfaire à aucune congruence de même espèce el de degré inférieur à /. c'est-à-dire

?F(P) que =|eo suivant p. ou encore la différente relative du nombre p n'es) pas

divisible par p.

Ces considérations nous montrent que la différente relative ilu corps K esl toujours un nombre premier avec les idéaux premiers de seconde et de troisième espèee. d'où le théorème 93.

S 58. — Le théorème fondamental m r le corps ctcliqi i: relatif dont la différi \ 1 1

RELATIVE EST ÉGALE V I. — On DÉSIGNE CE CORPS LE CORPS 1)1 il \"l

Les théorèmes 90, 92, 93 nous apprennent mi t'ait de très grande importance pour la théorie des corps de nombres. Ce fait s'énonce :

Théorème ni- — Lorsque le corps cyclique relatif K de degré premier impair la par rapport à /.- sa différente relative égale à 1. il y a toujours dans k un idéal j. qui n'esl pas un idéal principal de k, mais qui devient un idéal principal dans I\ . La /"'" puissance de cel idéal j est alors aussi nécessairement un idéal principal dans /,• et le nombre des classes du corps k est divisible par /.

Démonstration. — D'après le théorème 92, il y a une unité H de norme relative ('gale à 1 qui n'est pas la puissance de degré (1 — Si d'une unité. D'après le théorème 90, H = Al>- où A est un nombre entier de k. c'est-à-dire que A = H* A • L'idéal principal 3I = (A> es' tel cl110 2l = S2ï. L'idéal 2f fait partie dû coips k. Car, soit »T> un idéal premier de K contenu dans 21. qui ne fait pas partie de k, le théorème 93, comme l'hypothèse nous montre que le discriminant relatif n'a pas de diviseur, montre que ^stS(^J) et, par suite. A c.ontienl aussi la norme relative \t%*i. qui est un idéal premier de /,'. L'idéal A n'esl pas un idéal principal du corps /,• : car, dans ce cas. on aurait A = H*".'- où H* esl une uiiilé et 7. un nombre de k . Il en résulterait que H=H"! ■ ce qui est contraire à ce qui précède. Ce qui démont re !a première partie du théorème <)'i. Comme NA(A) = » esl un nom lue de A'

et, par suite. X,,.(3l) = 3(' = (x) est un idéal principal de /.', nous avons la démonstration complète du théorème 9*4.

Les théorèmes 92 et 9A sont vrais aussi pour 1=2, si l'on fait la restriction indiquée à la fin du § 55.

Il n'y a pas de grandes difficultés de principe lorsqu'on veut étendre le théorème 9'| à des corps ahéliens relatifs K de différente relative égale à 1 et dont le degré relatif est un nombre composé.

Les rapports étroits du corps K avec certaines classses d'idéaux du corps k, mis à jour par le théorème g4, ont fait appeler ce corps K un corps de classes <lu corps k.