CHAPITRE XVI

La décomposition des nombres dans le corps quadratique.

§ Ô(). — La base et le discriminant du CORPS QUADRATIQ1 I

Soit m un entier rationnel positif ou négatif différent de i, et qui n'est divisible par le carré d'aucun nombre autre que i ; l'équation du second degré

est irréductible dans le domaine des nombres rationnels.

Dans ce qui suit, nous désignerons par \fm la racine positive de cette équation lorsque jn~^>o et lorsque //(<o sa racine imaginaire positive. Le nombre algébrique \ m ainsi bien fixé détermine un corps réel ou imaginaire suivant les cas. Nous le désignerons par A- (y m) ou, plus simplement, par k; ce corps est toujours un corps de Galois. En remplaçant 4- \J m par — y m , on passe d'un nombre à son conjugué ou d'un idéal à son conjugué. \ous continuerons à employer la notation s pour indiquer cette transformation.

Le premier problème qui se présente à nous est la recherche d'une base du corps quadratique ainsi que de son discriminant. [Dedekind1.]

Théorème g5. — Les nombres 1, w, forment une base du corps quadratique k, si l'on pose

suivant que m = 1 (4) ou m z|- i(4).

Le discriminant de A" est. suivant les deux cas.

d=m, d=km.

I04 u- HIIJSERT.

Démonstration. — Le nombre 10 est toujours un nombre entier, car il satisfait

toujours soit à

(21) .'" — x = 0, soit a x • — m = o,

soit o' = Sa) le nombre conjugué de ou, le discriminant de (•> est c/=(oj — <o')'. D'après le paragraphe 3, tout nombre entier du corps k est de la forme

u 4- uo)

où », y sont des entiers rationnels.

Dans le cas où /?j=i(4), la congruence aam=2U + t> + vy m=o suivant m nous apprend cpie 111 + v est divisible par \/n>. et, par suite, au + i> = 0, (m). Cette dernière congruence, en tenant compte de la première uy/n = o, (m), c'est-à-dire que v est divisible par y m et, par suite, par m . Les deux nombres a et y sont donc tous les deux divisibles par d=m. et l'on peut débarrasser le nombre y. de son dénominateur.

D'autre part, soit //ie|=i(4). la congruence

4a/H = a + vym = 0, (m)

nous montre comme précédemment que u et u sont divisibles par m et que, par suite, m est contenu dans le numérateur et dans le dénominateur de L'expression qui donne % et qu'un peut simplifier par m .

Nous aurons donc a = — où u' et v' sont des entiers rationnels. 11 est

facile de voir, en formant la norme a. sa, que pour m = 2, aussi bien que pour m = 3 suivant 4 , une expression de la forme a' + v'\/m avec u' et c' entiers et rationnels ne peul être divisible par 2 que si ((' et v' sont tous les deux pairs. Si on applique ce résultat d'abord à l\%, puis à i%, on voil que aussi dans le cas de m=|= 1 (4) tout entier du corps A\ s'écrit u + !'('•> avec u et y entiers et rationnels. La seconde partie du théorème résulte de la formule

(10 — a> ) qui, d'après le paragraphe 3, définit le discriminant du corps.

§ (io. — Les idéaus premiers di coups.

Le problème de la décomposition des nombres premiers rationnels en idéaux premiers du corps /,• esl complètement résolu par le théorème suivant :

Théorèmi 96. - Tout nombre premier rationnel / facteur de cf esl le carré d'un

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQl ES. !"•>

idéal premier de k. 'l'uni nom lue premier impair rationnel // qui ne divise pas d ou bien se décompose dans /,- en un produit de deux idéaux premiers conjugués du premier degré p el p' ou représente un idéal premier du second degré, suivant que d est reste quadratique de /* nu mm reste. Le nombre premier a est, dans le cas de m 1 1 'i i, le produit de deux idéaux conjugués distincts du premier degré de k, ou est lui-même un idéal premier suivant que m ~ i cm m = 5 suivant 8.

Démonstration. — La première partie de la proposition, celle qui a rapport aux facteurs premiers /de d, est une conséquence du théorème général 3i. Sud / un facteur premier impair de d, nous trouvons

où l=(/.\A«) est un idéal premier du premier degré, qui est égal à mui conjugué. Si a divise '/, on a

2 = (2,v/'h) "" a = (a. i+ym)

suivant que m = 2 ou w = 3 suivant 4-

La décomposition des nombres premiers non contenus dans </ s'opère en tenant compte du théorème 33 et de la remarque qui s'y rapporte faite au paragraphe r3.

D'après ces considérations, tout nombre premier p qui ne divise pas d se décompose dans le corps k en deux idéaux premiers distincts ou est lui-même nu idéal premier, suivant que le premier membre de l'équation correspondante (21 1 esl réductible ou irréductible dans le mus de la congruence suivant p.

Si p est impair, nous trouvons que la congruence

{■>..r — 1)' — m = o ou .'" — m = o i/m

n'est résoluble que si m est reste quadratique de p et qu'elle esl irrésoluble si m esl non-reste quadratique de p.

Posons dans le premier cas m = <r suivant p ; il vient

p = (p, a + y' '") (p : " — v/"1) =P-P'- Les deux idéaux premiers p et p' sont bien distincts à cause de

Dans le cas de m = i(.'i). la congruence .<" — .<: =0 suivant a est évi-

"' — 1 ilemnienl résoluble ou irresoluble suivant que — - — = 0 011= 1 suivant 2, cest-

à-dire m = 1 ou = 5 suivant 8.

Dans le premier cas, on trouve

lOÔ D- HII.lîKKI.

Les deux idéaux de droite sonl différents, car

+ \'m i — \fl

Nous pouvons prendre comme nombres de bases des idéaux que nous venons de

I ii un er, soil

l. — — ï — soil /. \' m,

p , — mm t p, a + V '" •

— - — soit 2. \/m ou 2 , i + \ m

suivant que m = 2, 3i '1 1.

On reconnaît facilement ce fait par une réciproque du théorème 19, si l'on forme le déterminant obtenu en adjoignant à chacun de ces couples de nombres le couple conjugué. Dans la deuxième ligne du petit tableau que l'on xienl d'établir, a désigne un nombre satisfaisant à la congruence

et qui. de plus, est supposé impair dans le cas de m = 1 1 '1 1.

S 61. -- Le symbole ( — ).

l'uni pouvoir donner un énoncé résumé et complet des résultats acquis, nous introduirons le symbole suivant : Suit '/ un entier quelconque rationnel et w un

nombre premier rationnel impair, le symbole [ — ) a la valeur + 1» — 1 ou o suivant

que a est reste quadratique ou non-reste quadratique de p ou qu'il est divisible

par /1 : de plus, admettons que ( - ] égale +1, — 1 ou o suivant que a impair est reste

quadratique ou non-reste de ■/ = S. ou suivant qu'il est <li\ isilile par 2. On peul alors donner au théorème 96 l'énoncé

Théorème 97. — lu nombre premier rationnel quelconque />(=. a ou =|=a) se décompose dans le corps k en deux idéaux premiers distincts, est lui-même un idéal premier, ou est le carré d'un idéal premier suivant que

à = + I.T ou 0. [DedekindL]

\pj

THEORIE DIS CORPS !>:: NOMBRES ALGEBRIQl ES. 10-7,

Ceci nous amène à considérer trois espèces d'idéaux premiers :

i Les idéaux premiers du premier degré v distincts de leurs conjugués p'.

2° Les idéaux du second degré (p) représentés par les nombres premiers qui ne se décomposent pas dans /,-.

3" Les idéaux dû premier degré I dont les carrés sont des nombres premiers contenus dans il .

D'après les définitions des parag raphes 3g el 'i i . le corps A esl le corps de déi oni position des idéaux premiers /< <\r la première espèce, il esl le corps d'inertie pour les idéaux premiers /> de la seconde espèce el enfin le corps de ramification pour l<-s idéaux I de la troisième espèce.

S (!:». — Les CNITÉS ni CORPS oi A.DRATIQ1 !..

Pour ce qui concerne les unités de A', le théorème '17 nous apprend que 1 s

avons à considérer deux cas. suivant que A- esl un coçps imaginaire ou un corps réel.

Dans le premier cas, k ne peut contenir d'autres unités que celles qui sont des racines de l'unité, et connue le corps quadratique -ne peut contenir que les racines primitives de la racine cubique, quatrième ou sixième de l'unité, les seuls corps quadratiques imaginaires qui peuvent contenir d'autres unités que — 1 et — 1 sont les deux corps l;{\/ — 1) et A'(y — 3j. Le premier corps contienl 1rs unités -t-t; le second,

les quatres unités + =^— . Les discriminants de ces deux corps sont — '1

et — 3; d'après le théorème ôo, il y a dans toute classe d'idéaux t\<- ces corps un idéal dont la norme <J a pour le premier. <^ 3 pour le second. Comme d'ailleurs dans le corps k[\/ — ij, le nombre a est la norme de l'idéal principal 1 1 -•- i); il en résulte que chacun de ces deux corps ne possède qu'une classe d'idéaux. Ces corps ne renferment donc que des idéaux principaux, et tout nombre positif entier rationnel qui peut être pris pour nonne d'un idéal de /f(v — 1 ) ou de fc(y — 0) est aussi la norme d'un entier algébrique dans le corps correspondant, d'où résultent les théorèmes connus sur la représentation des entiers ratii mnels sous les formes x° — y~ ou x* + xv + y'2 . ./• el y étant des entiers rationnels.

Par contre, si k est un corps réel, le théorème '17 nous apprend qu'il existe toujours une unité fondamentale ; différente de ±1, et au moyen de laquelle toute unité du corps peut être mise d'une seule façon sous la forme -t-s". oùaesl an entier rationnel.

Les circonstances dans lesquelles la norme de celte unité fondamentale est égale à + 1 ou à — 1 n'ont été découvertes que dans certains cas particuliers, \rndl '. Dïrichlel '. Legendre '. Tano1.] -- Comparez à ce que nous venons de dire la première partie delà démonstration du lemme i3.

MiS D. HII.BERT.