PREFACE DE L AUTEUR. XV
La première partie de ce rapport traite de la théorie générale du corps algébrique; relie théorie nous apparaît comme un édifice considérable assis sur trois piliers principaux : le théorème de la décomposition unique îles nombres en idéaux premiers, le théorème relatif à l'existence îles unités el
enfin la détermination transcendante du nombre des classes. La deuxième partie renferme la théorie des corps de (ialois, qui à son tour contienl la théorie générale. La troisième partie est consacrée à l'exemple classique du corps quadratique. La quatrième partie traite le corps du cercle. La cinquième partie développe la théorie du corps que Ixniumer a pris comme base dans ses recherches sur les réciprocités d'ordre supérieur. (l'est pourquoi je l'ai appelé corps de Ruminer. La théorie de ce corps de knniiner est le somme! le pins élevé qu'ait atteint la science arithmétique actuelle. De ce sommet, on aperçoit bien tout le domaine acquis par la science, car presque tonte idée ou toute notion de la théorie des corps, au moins prise dans un sens particulier, trouve son application dans la démonstration des lois supérieures de réciprocité. J'ai essayé d'éviter le grand appareil de calculs de Ruminer, pour réaliser aussi ici l'idée fondamentale de Riemann qu'il faut triompher des démonstrations non par le calcul, mais par la pensée.
Les théories de la troisième, de la quatrième et de la cinquième partie sont toutes des théories de corps abéliens particuliers ou de corps abéliens relatifs. Un autre exemple d'une pareille théorie serait la multiplication complexe des fonctions elliptiques, en les considérant comme une théorie des corps qui sont des corps abéliens relatifs par rapport à un corps imaginaire quadratique donné. J'ai dû renoncer à faire entrer ces recherches sur la multiplication complexe dans ce rapport, car les faits de cette théorie n'ont pas encore été l'objet de travaux assez simples et assez complets pour permettre une exposition satisfaisante.
La théorie des corps de nombres est un monument d'une admirable beauté et d'une incomparable harmonie; la plus belle partie de ce monument me semble être la théorie des corps abéliens et des corps abéliens relatifs. Ruminer et Rronecker nous l'ont révélée, l'un par ses travaux sur les lois supérieures de réciprocité, l'autre par ses recherches sur la multiplication complexe des fonctions elliptiques.
Les vues profondes que nous donne l'œuvre de ces mathématiciens dans cette théorie, nous montrent aussi que dans ce domaine de la science une
