CHAPITRE XVII

Les genres dans le corps quadratique et leurs systèmes de caractères.

«s 64. — Le symbole

Pour la répartition des classes d'idéaux, nous introduirons dans les développements de la théorie du corps quadratique un nouveau symbole. Soient n et m deux entiers rationnels, où m n'est pas un carré et où w est un nombre premier rationnel

quelconque; nousdonnerons au symbole | — - — ) la valeur 4- i, dès que le nombre /)

est congru à la norme d'un entier du corps algébrique k(ym) , et si. de plus, il existe pour toute puissance plus élevée de w dans l:[\/m) un nombre entier dont la norme est congrue ;\ n suivant cette puissance de w; dans tout autre cas. nous pose-

(n. m\ , , fn, m\ ,. ,

rons I 1^ — i. Les nombres pour lesquels ; = + i seront dits les restes

normiques du corps k [y m ) suivant w; les nombres // pour lesquels f— —

seront les non restes normiques du corps k{ym) suivant w.

fn, m\ Lorsque m esl carre parfait, ( sera toujours pris égal a >.

Le théorème suivanl qous indique les propriétés du symbole | — — ) qui nous

permettront de le calculer.

Théorème 98. — Soient // et /// deux entiers rationnels, qui ne s<mi pas divisibles pai n' : on a les règles suivantes

THEORIE DES CORPS I>K NOMBRES ALGEBRIQ1 ES. tOQ

Pour 1rs nombres premiers impairs w, on a •

(a") pour w = 2 :

"' / \ mo J \ n

De plus, pour des nombres entiers rationnels quelconques n, n', m. m' par ra] port à tout nombre premier w. on a les formules

ic")

w j \ w nn , m \ fn . ni\ ! n , m

w \ If» / \ w

n . mm'\ fn, m\ f n. nï

Démonstraiion. — D'abord il esl évident que si n esl la norme d'un entier de k,

on a

De plus, comme — m esl la norme de \/m. on en conclut l'exactitude de (c'). De plus, si n et n' sont deux entiers rationnels =|=o, dont le quotient est la norme d'un entier ou d'une fraction de k\yi>i). l'égalité

n ./ii

w J \ 10 esl évidente d'après la définition du symbole.

Si — est le carré d'un nombre rationnel, il en résulte en particulier ce fait très

simple que la valeur du symbole l— — J ne change pas si l'on multiplie n ou si on

le divise par le carré d'un nombre rationnel entier. JNous admettrons, pour plus de simplicité, que ni n ni ni ne contienne le carré d'un nombre premier.

Pour reconnaître l'exactitude de noire système de formules, nous traiterons dans l'ordre les trois cas particuliers suivants :

I 10 U. I1ILBERT.

i Soil w un nombre premier impair qui divise m. .Si /( n'est pas aussi cli\ isi-ble par w, la congruence

i n = i 2 îc — v is — //i y1 ou « = cc° — m y" (u>) ,

n'admel de solution entière en x et y que si f — 1 = 4- i . Réciproquement, si la dernière condition est satisfaite, la congruence n*=x! admet des solutions suivant toutes les puissances de w, et il en est évidemment de même de la congrueni e Donc, en vertu des hypothèses admises,

D'autre part, si n est divisible par c.

f—nm \ n. mN( / — nm, m\ w

W ) \ W J \ ir

ai Soit w un nombre premier impair qui ne divise pas m. Si // aussi n'est pas divisible par w, la congruence

n = x* — my* (w)

admet toujours des solutions, car le second membre de cette congruence donne liais les restes quadratiques suivant w, lorsqu'on fait as= i, 2, ..., , y = o: et, dans

le cas de ( 1 = — r. elle donne tous les restes non quadratiques suivant ir. pour

Par contre, soit : = + 1, désignons par </ le plus petit non-reste quadra-

tique du nombre premier ir. et soit y=b une racine de la congruence — nty'-=u — i(u>) qui a certainement des solutions; comme «= 1 — mb' suivant w, la forme a;' m bx)'

représenti poui •■=1. 2 tous les non-restes quadratiques suivant w.

Comme la congruence n = x~ — my: suivant w admet des solutions, on en conclut qu'elle en admet aussi suivant toutes les puissances de w, c'est-à-dire qu'avec nos hypothèsi -

admettons maintenant (pie n est divisible par /'•. mais qu'il ne l'est pas par u?'; conformément aux hypothèses du début, une solution de n = x* — my' suivant w' :

u = x — \ ni v

représenterait un nombre du corps k y m, dont la aorme x . sa = /i(a) contiendrai! mi facteur w et non pas ii'\ c'est-à-dire que w se déci imposerait dans le corps k(\ m )

on deux idéaux premiers distincts w et ta', ce qui exige comme condition nécessaire

m et suffisante, d'après le théorème <|-, — I = 4- 1 •

\ vu J

Réciproquement donc, si celle condition esi remplie, w est dans le corps k(\ ni |

un produit tt>u'' de deux idéaux premiers distincts. Si l'on désigne alors par y un

nombre entier de k[\/in) divisible par w, niais non par w" ou par 11»',