iu y

n . /il y, ), m\

/n, m\ ( m cest-a-dire qu avec tes hypothèses actuelles, on a toujours

il' J \ w

Les résultats acquis établissent immédiatement l'exactitude des formules (a')

et \ii"\: de plus, ils donnent pour des nombres premiers impairs les formules (c')

. et (c"), et ils les donnent complètement si l'on examine dans l'ordre les différents cas

qui peinent se présenter en tenant compte dé la divisibilité ou de la non-divisibilité

des nombres n . n' , m par w.

3) Dans le cas île w = 2, nous ferons' d'abord les considérations suivantes. Se. il /i.fv) mie fonction homogène du second degré à coefficients entiers de x et de y, et n un nombre entier rationnel impair; si la congruence n=/(;rY) suivant j' admet des racines, elle en admet aussi suivant toute puissance supérieure de 2, ■>" '(e^.3). Nous le démontrerons en concluant de eh e-j-i. Soient a , b deux entiers rationnels, tels que /'m. //) = // suivant ■>.''. où e^3; si l'on n'a pas n=f(a, b) suivant ■>,'' '.

mais bien mieux n =f(a. b) 4- a" suivant :>." ', nous déterminerons un n bre c,

tel que c2 = 1 -f- :>,'' su ivanl ■>!' ', ce qui est possible à cause de e^ 2 ; et alors

f\ca. cb) = c;/'(-/. b) =J\<i. b) + </'(</. 6) = /(«. 6) + 2" == // [V ');

c'est ce que nous voulions démontrer.

Dès lors, si nous Minions établir la valeur de ( — - — J pour // impair, il nous faut

chercher quelles sont les valeurs de // et de m qui se correspondent de manière à rendre possibles les Congruences

(23) n = ce' + xy v; ou n = x'~ — m v~ (21).

[m — I. lé [m = 2, 3 (4)]

Un calcul très court nous fournil la table suivante :

D. IIILBERT.

Dans cette table, nous avons mis clans la colonne ries //* les six restes suivant y.' à considérer, et. clans la colonne des n . les restes impairs suivant a3 qui leur corresj lient et rendent possible la congruence 23 :

Celle table nous montre que pour « et ni impairs l'égalité (6') est vraie ; elle montre aussi qui' pour n impair, m pair=a/n'; on a :

D'autre part, si n est pair = an' et m impair, il faut distinguer les devis cas m= i et /h = 3 suivant 4.

Dans le premier cas. il faut que i soit dans le corps U\\ m) le produit de deux idéaux premiers distincts dès que n = in' est reste normique de a d'ans A-(v ni), c'està-dire que ( — ) doit être égal à + i. Si cette condition est remplie, on peut toujours

trouver un nombre -/dans /r(y m) dont la norme n(a) est divisible par 2 et non par 4 ; on a alors

'Il' . Ili X l. /HN

il ce dernier symbole suivant (b') est «'-jjral à + i : on a donc

an', mx

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉliRIQl i s. i [3

Dans l'an Ire cas m = 3i 'i l, la valeur du symbole en question dépi nd de la possibilité de la congruence >n' = .<■' — my: suivant une puissance quelconque de >. ■>'. Une pareille congruence, comme on le voil aisément, n'est possible que s'il en esl

a i 1 1 >i de

suivant la même puissance ■>.' : c'est-à-dire que

a //'. ni\ m, a n'

Enfin, si « el m sonl tous les deux divisibles par a, n=>.n' , ffi = 3/n', on a

'•m'. :>.m'\ ( — ■{' ri ni\ im'\ f — n'iri. :>.rri

Les résullats obtenus onl peur conséquence immédiate la formule (6"), el nous reconnaissons en même temps que les formules (c") H (cm) sonl exactes poui «' = i. La formule c"" se déduil d'une combinaison de i c") el i c").

Le théorème 98 est complètemenl dé itré.

Des formules (a'), (a*), (b1), (6") du théorème 98, on déduit ce qui suit :

Si l'on considère un système c plei de nombres premiers avec w el incongrus

suivant we, où e^- j et même c~> a dans le cas de w = 2 , tous ces nombres sonl des restes normiques du corps k\\ m) suivant m. ou bien ils forment la moitié de ces icstes, suivant que w est premier avec le discriminanl de A (\ m) <>u qu'il ae l'est pas.

§ (iô. — Les systèmes de caractères d'us idéal.

Soit / le nombre des diviseurs premiers rationnels des discriminants de A \ m),

désignons-les par lt. I /, .

A chaque nombre entier rationnel correspondent alors des valeurs parfaitement

déterminées 1 + 1 ou — 1) des / symboles

dont le sens esl déterminé par le paragraphe précédent: ces / unités ± 1 prendronl le nom de système des caractères du nombre a dans le corps k[\ m). Pour pouvoir attribuer aussi à toul idéal a du corps A'(\ m) un système de caractères bien déterminé, nous distinguerons deux cas suivanl que k esl un corps imaginaire ou un corps réel. Dans le premier cas. les normes des nombres de k{\ ni) sonl toujours positives; nous poserons /■ = /, n = + mai. et nous dirons que les ;• unités

I I /j 11. HJLBERT.

formenl le système des caractères de l'idéal a, il est parfaitement déterminé par l'idéal a. Dans le second cas, nous formerons d'abord le système des caractères du nombre — i :

fa5)

Si toutes ces unités sont égalesà + i, nous poserons, comme clans le premier cas, n — ft(fl), ''=/. et nous dirons encore i]ue le système a4 est le système des caractères de a. Par contre, si jauni les / caractères (25) se trouve l'unité — i. soil par

exemple ( ■ — ) = — i. nous poserons r=l — i et 7T=— f— n(a) en choisissant le

si<me de laçon que ( = + i, et nous désignerons les r uni lis i >.\ i résultant tle

V ', / ces livpolhèses sur /• et sui 77 le système ilrs caractères de l'idéal a.

Les conventions que nous venons de faire nous permettent d'énoncer le théorème suivant :

^ lili — LE ststème de cabactèbes iùm classe d'idéaux et la MIIIHN de CEMlE.

Théobèmi 99. - Tous les idéaux d'une même classe du corps />(v'") admettent le même système de caractères.

Démonstration. — Soient a et a' deux idéaux de k(\/m) appartenant à la même liasse: il existe un nombre a entier ou fractionnaire de k{\/m), tel que a'= an. Par

suite. n(a') = ±n(x)n(a). où ± désigne le signe de »(-/), et. par suite,

'n(a'). m\ f±n(a), mN

pour /=/, lr En tenant compte des conventions du paragraphe 65, on obtient

le théorème 99.

De" celte façon, à chaque classe d'idéaux correspond un système de caractères. Nous rangerons dans le même genre toutes les classes d'idéaux qui ont le même système de caractères, et, en particulier, nous définirons genre principal l'ensemble de toutes les classes dont les systèmes de caractères est formé d'imités toutes positives. Comme le système de caractères de la classe principale a évidemment celle propriété, la rl.issc 1 lim ipale appartient au genre principal. De la formule r". paragraphe i'i'i. nous déduirons facilement ce fait, que la multiplication des classes d'idéaux de deux genres fournil la classe d'idéaux d'un genre, dont le sxslème de caractères s'obtient par la multiplication des 1 aractères correspondants des ^t-wx genres. Il en résulte en particulier que le système des caractères >\u carré d'une classe d'idéaux d'un genre quelconque ne contient que des unités positives, et, par suite, le carré de toute classe d'idéaux appartienl au genre principal.

Toi m genre contient le même nom lue de r lasses.

TH10OR1K DES COUPS DE NOMBRES AU.KIiHh H ES.

S 67. — Théorème fondamental relatif vus genres m corps qi idkatiq; e.

Une question se pose ■. In système quelconque de r unités + 1 peut-il être le système de caractères d'un genre du corps kyymj^La solution de cette question csl d'une importance capitale pour la théorie du corps quadratique; elle esi contenue dans un théorème dont la démonstration nous occupera jusqu'au paragraphe 78 el qui s'énonce :

Théorème 100. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système quelconque de r u ni lés -+- 1 soi! le système des caractères d'un genre du corps /c( y m) esl que le produit des r unités suit égal à -\-i. (l'est pourquoi le nombre des genres du

corps k\ym) est égal à 2'"'. [Gauss1.]

S ()8. -- Un lemme s'appliquant aux corps quadratiques dont le discriminant m: