CONTIENT QU'UN DIVISEUR PREMIER

Pour nous rapprocher du bul indiqué au théorème 100, nous démontrerons d'abord le

Lemme i3. — Lorsque le discriminant d'un corps k=k\ym) ne contient qu'un diviseur premier rationnel /, le nombre des classes d'idéaux de k esl impair. Le système des caractères se compose d'un caractère unique relatif à /; ce caractère est toujours égal à +1. c'est-à-dire que dans le corps il n'y a qu'un genre : le genre principal.

Démonstration. — Désignons par s la substitution qui transforme un nombre du corps li en son conjugué. Désignons encore, lorsque »i>o, par j une unité fondamentale du corps k, — z, — , représentent des unités du mêmegenre; nous démontrerons tout d'abord que l'hypothèse du lemme nous donne n(E) = e.s== — r. En effet, admettons que /!(;) = + 1, on pourrait trouver, d'après le théorème 90, un

entier a du corps tel que î = - ; il en résulte ï. = e.sa, c'est-à-dire que I011I fac-

teur idéal premier contenu dans a le sérail dans sï. Mais d'après l'hypothèse faite dans l'énoncé, lorsque m^>o y m esl le -cul facteur premier de k, qui est égal à son conjugué et qui n'est pas rationnel, on a ou bien

a = y, a ou •/ = y, y m a ,

T| étant une unité et a un entier rationnel positif ou négatif: il en résulterai! s == -+- 7i'~* = -+- 7[a, et-£ ne sérail pas une unité fondamentale, ce qui csl contraire à l'hypothèse.

I i(i I). HILBERT.

Démontrons maintenant la première partie du lemme. Si le nombre h des classes du corps k était pair, il y aurait, suivant le théorème •">-;. un idéal j n'appartenanl pas à la classe principale, Ici que y ~- i ; mais comme jsj -»- i, on en conclurait j-«-.sj. Posons j = as.j, c'est-à-dire j',= a: aestun nombre de k dont la norme n(a.) — I i. Dans le cas où le signe serait +, posons (ï = a; le sec: nd n'est évidemment possible que pour un corps réel ; faisons S = s-/ . i désignant comme tout à l'heure l'unité fondamentale de k. Avec ces hypothèses, on aurait à chaque fois n(jï) = + i, et, par

suite, d'après le théorème 90. - = yi— s, où 7 est un entier de k. De a = j'~* résulterail (yj)'~*=i, c'est-à-dire (y)j = s(yj), et on conclurai! connue précédemment que l'idéal i-ij est ou bien =(«) ou (a)ï, où a est un nombre entier rationnel et 1 le

seul 1 ibre premier de /,- égala son conjugué el non rationnel. Or. lorsque m=|= — 1,

ce facteur premier l = ym. et, pour m = — 1, I=i + y — 1, c'est-à-dire qu'on a toujours I -»• 1, et, par suite, j —- 1, ce qui est contraire à l'hypothèse. Lorsque k est un corps réel, mi) = — 1 nous indique de suite'que

cl alors, d'après le paragraphe 65, le système du caractère d'un idéal j est consti ué

, + «()). ni . . , , , • 1 - , • 1

par 1 unité : ce caractère unique esl égal a -f- t pour chaque idéal ) iln

corps k , sans quoi l'ensemble des classes d'idéaux de k se répartirail en deux genres el le nombre des classes h serait pair.

Ce lemme i3 nous montre que le théorème fondamental 100 est vrai dans le cas le plus simple, c'est-à-dire le cas du corps quadratique dont le discriminanl d ne contienl qu'un diviseur premier rationnel.

69. — Lu THÉORÈME DE RÉCIPROCITÉ POUR LES RESTES QUADRATIQUES.