I V LEMME RELATIF AU SYMBOLE
Théorème 101. — Sqitpet 7 deux nombres premiers rationnels impairs positifs différents l'un de l'autre: on a la règle
,'1J \Py dite loi de réciprocité des restes quadratiques. On a, de plus,
t)=(->t- (in-»':
dils théorèmes complémentaires à la loi de réciprocité quadratique. [Gauss1.]
T1IKOIUK DES CORPS DE NHMIIKIS Al.l.l-.ltlt II il 1 s.
Démonstration. — Suit l,-{\< m) un corps dont le discriminant ne contient qu'un diviseur premier /, et désignons par n la normed'un idéal de ce corps fr: d'après le
lemme i3 on a toujonrs | — - — 1 = 4-1. Mais d'après les théorèmes 96 el «17. on voit.
qu'on particulier, tout nombre premier positif impair qui ne divise pas /// et donl /// est reste quadratique rsi la norme d'un idéal de /.-(y m). Nous utiliserons, ci fail pour dresser le tableau suivant : m m s désignerons parp et /> deux nombres premiers rationnels distincts congrus à 1 suivant '1. par 7 el q' deux nombres premiers distincts congrus à 3 suivanl 4, tandis que r représentera un nombre premier rationnel impair dont nous ne préjugeons pas le teste par \.
Si : On a :
ji
lu \ n
(JLL \ p
Dans un corps l;\\ j>) . n(=)= — 1 nous apprend que = 4-1; ajoutons
celte remarque à la ligne 1, il en résulte que, d'une façon générale, • ) = t — n ; •
appliquons la proposition citée au début de cette démonstration au nombre premier n = 2. el remarquant que 2 est toujours la norme d'un idéal dan- Ai \ p), ou
l>[\/ — <]). des que ( — 1) * = + 1 ou ( — 1) 8 = ditions sont satisfaites, ( — — ) = (-) = 4- 1, ou
il en résulte que, si ces con-
— 1 , c'est-a-
P J \pj \ g
dire que si ( — 1 ") s = 4-1, on a | ) = -|-i. Ajoutons ce résultat à la ligne 2, on a, d'une façon générale, (-) = i — 1) « . Le contenu de la licne 3 montre que
Les lignes 'i el 5 nous apprennent que el la ligne 6 ' p io f -^ J = — ( — )> où il faut tenir compte du caractère du restede — i,
a été trouvé d'abord.
Il reste à démontrer que si ( — ) = + '. on a nécessairement ( — ): - i. Le
\q J \qy
théorème de réciprocité pour deux nombres premiers rationnels g et g', qui tous deux = 3 suivant i i), s'obtient le plus simplement en considérant le corps k[\/gg') ,
car connue ( - ) = — i, la norme de l'unité fondamentale t de ce corps est
certainement =+ i» et il y a un entier a noir théorème 90), tel que s = x~s = ,
nu sa est le nombre conjugué de a. Nous en conclurons facilement que l'idéal premier q contenu dans <j esl un idéal principal. Par suite, en choisissant convenablement le signe,
. + , et (±9'rt)= + l;
donc
v- qq'\ '/• w
et en tenant compte de la formule (c') du théorème 98
Lemme i/|. — Soient n et m deux entiers rationnels quelconques qui ne sont pas tous deux négatifs: on a
où le produil 11 s'étend à tous les nombres premiers rationnels.
Démonstration. — Soient p el 7 deux entiers rationnels distincts impairs et tous deux premiers; les règles (a"), |//). (b") du paragraphe li'i et le théorème 101 nous permettent d'écrire :
THEORIE DES CORPS DE \OMBRES ALGEBRIQl ls. Mi)
et grâce à ia règle (a') du paragraphe <i'i. le lemme i \ subsiste pour Le cas* ù les nombres n el m égalent — i ou ne contiennent qu'un nombre premier. Les formules ' " i i ■ ' •' " ■ montrent que le lemme l 'i esl général.
De ) = — i. il résulte que si n el m sont tous deux négatifs, le proj
du il I <^l égal à — i.
Qn peut exprimer plus simplement la proposition contenue dans le lemme l 'i ri
celle que nous venons <l énoncer en employant le nouveau symbole [ 1 =-+- 1,
V — i y en lui donnant la valeur -f- 1, si l'un des nombres n ou m esl négatif, el la valeur — i
lorsqu'ils le sont lous lis deux.
<i 70. — Démonstration des rapports entre l'ensemble des i vrai h'iu- i>'i \
