GENRE ÉNONCÉS DANS LE THÉORÈME FONDAMENTAL IO

Appliquons le lemme 1 \. Soil "ît une classe d'idéaux du corps liiym). et suit a un idéal de cette (Masse premier avec s el avec d, el soit n = + /t(q;1 la norme <!<■ l'idéal a pourvue du signe prévu au paragraphe 65; le produit de tous les caractères de la classe 3t esl donné par

Comme «(a) est la norme d'un idéal, tout nombre premier rationne] p contenu dans 11 se décompose dans le corps l<\\ m) : et. par suite, d'après le théorème 96, m est reste quadratique de tout pareil nombre.

Du lemme ii. el en tenant compte < 1< -^ formules cB 1, a" du théorème 98,

on a

ITRf = + ■■

lorsque w prend les valeurs des nombres premiers impairs contenus dans d, ainsi

que la valeur 2.

Si donc le discriminant '/ du corps l,[\/m) contient le nombre premier 2, il est démontré déjà que pour toute classe de l,\\ni) le produit de tous les caractères = — 1.

Par contre, si 2 n'est pas contenu dans '/. comme m = 1 suivant \ , on a

1 = 4- 1 . et le théorème esl aussi démontre dans ce cas.

[20 D- IHUJERT.

Ayant démontré que le produit des caractères est égal à + i. nous reconnaissons de suite que le nombre des genres dans le corps quadratique k{\/m) est au plus égal à la moitié de tous les systèmes de caractères imaginables, c'est-à-dire au plus égal à >.r~'.