CHAPITRE XVIII

L'existence des genres dans le corps quadratique.

S 71. -- Le théorème sur les normes des nombres d'un corps quadratique.

Il reste à faire voir que la seconde partie du théorème 100 est vraie, c'est-à-dire à démontrer que la condition que nous avons reconnue nécessaire pour qu'un système de r unités + 1 forme le système de caractères d'un genre dans k\y m) est aussi suflisante. On peut y arriver par deux voies bien distinctes : la première est de nature purement arithmétique, la seconde a des moyens transcendants. La première démonstration résulte des raisonnements suivants :

Théorème loi. — Si n, m sont deux entiers rationnels, /» n'étant pas un carré parfait, qui remplissent pour tout nombre premier w la condition

fn, m\

le nombre // esl toujours la nonne d'un nombre entier ou fractionnaire 1. du corps k{\/m).

11 11, nt\

- J exige, comme il résulte île la remarque faite à la lin du paragraphe 69, que l'un des nombres n ou m au moins suit positif, \11us pouvons admettre que n et //( ne renferment pas de facteur rationnel au carré. Soit alors p un facteur premier de /( qui divise aussi le discriminant d du corps k[\/m) ; /) esl la norme d'un idéal de A'(\ m). De plus, si p esl un nombre

• • • ,• • "■ m\ f"}\ premier impair qui divise n et /;/ ou /;/ . coin nie [ J = I — J = + ' • /'esl aussi la

norme d'un idéal de k[ym). Enfin, si ?, divise n et ne divise pas le discriminant du

, / /—\ fn, m\ /a, m\ , ï!i=! corps U\\l m), comme [ I = I =( — 1) s = + 1, a esl encore la norme

d'un idéal de l,\\ w). et, par suite, l,\\/' m) contient certainement un idéal j. tel que u -in'i. Choisissons dès lors dans la classe d'idéaux déterminée par j un

idéal )', dont la norme n(j') -^ \\ d\ ou tfest le discriminant du corps k{\ m). Ceci, d'après le théorème jo, es! toujours possible. Nous poserons j' = xj el n' - n.i où /. est un nombre entier ou fractionnaire de k{\/ m) : on aura /<' — — -m j avec le signe + ou le signe — suivant que n(y.) est positif ou négatif. Le nombre entier rationnel «'est donc en particulier sûrement positif lorsque m est négatif. Cou ■ ,/ ,i

pour valeur m ou 4'» . on a \n'\ -^ 2|\/m|.,- et il en résulte |/i'|<|/n| dès que

2 | V m] < |m| , c'est-à-dire [ h» j > 4- D'autre part, comme n' = n . n(v.), on a

= ■ =+ i . et, par suite, a cause de la formule (c I du théorème q8,

pour tout nombre premier w.

Admettons cpie le théorème 103, que nous voulons démontrer, >oit vrai pour tout

corps k\\/m) pour lequel le nombre m', qu'il soit positif ou négatif, satisfait à

|/;«'|<[|ni|. Le nombre nu que nous venons de trouver satisfait à \n'\<^\ni\ el n'est

, ■ (m> n'\ pas un carre, et comme on a de plus ( j = + 1 pour tout nombre premier w, il

faut, grâce à notre hypothèse, que le nombre /// soit la norme d'un nombre i dans

le corps k[yn'), c'est-à-dire qu'il existé deux nombres entiers où fractionnaires rationnels tels que

d'autre part, si /;' est un carré, la possibibilité de cette égalité est évidente. Connue il faut que b soit =|=o, on voit que n'= ( — J — m (- ) —711 / 1, c'est-à-dire que n' est

la norme d'un nombre À dans le corps k{\/m). En rapprochant ce l'ait de n' = 11.11(7.), on voit que n — n(a}, où a = — est encore un nombre de k(\' m).

La démonstration complète du théorème 102 sera accomplie dès (pie nousaurons montré que le théorème est vrai pour \m\ <^4 avec |n| <^ \\/d\. En restreignant ainsi les nombres n et m, les conditions du théorème 102 ne sont remplies que dans huit cas.

Les égalités

2 = n(i + y/a), - 2 = n(i + \JÏ),

montrent que' dans ces huit cas le théorème 102 est vrai.

I). HILISEKT.

On reconnaît que le théorème 10a esl encore vrai >-i on en modifie l'énoncé en

exigeai) I que la coud i lu m 1 I = + i no soit remplie que pour Ions les nombres

premiers impairs w, mais il faul alors ajouter cette condition que l'un des nombres n et m au moins esl négatif. [Lagrange1, Legendre1, Gauss1.] Et, en eflet. d'après le

lemme i \, l'égalité ( — '■ — ) = i est alors satisfaite d'elle-même.

S 73. — Les classIes i>i genre principal.

\ la lin du paragraphe 66 nous avons montré que le carré d'une classe d'idéaux appartient toujours au genre principal. Le théorème 10! du paragraphe 71 nous permet de montrer la réciproque.

Théorème io3. — Dans un corps quadratique, toute classe du genre principal est le carré d'une classe. [Gauss1.]

Démonstration. — Soil M une classe du genre principal du corps l;[\/m) et I) un idéal de cette classe première avec le il du corps k[y m), soil n la norme de l'idéal l) précédée du signe prévu au paragraphe 65- Ce nombre n remplit alors, quel que soil

le nombre premier w, la condition I — — J = + 1 , et par suite on a n = n(i), où *

est un nombre entier ou fractionnaire du corps klym). Posons donc — = — , f; cl

a # . , , fî x fï

»V liant des idéaux premiers entre eux: il en résulte que — ; — ;=i et. par suite,

fj .sfî

fî'=\£. Comme fs.vfs -w 1. il en résulte que I) -»• fs\

(.elle propriété caractéristique des idéaux du genre»principal a un rapport étroit avec une autre propriété égalemenl caractéristique de ces idéaux et qui est exprimée par le théi irème suivanl :

Théorème io4- — Soient i»t, o, deux nombres de base du corps quadratique />■ et '!",,< 'V deux nombres de base d'un idéal t) appartenant au genre principal de k, et enfin soit N un nombre entier rationnel 'quelconque donné; on peut toujours trouver quatre nombres rationnels rlt, /■,.,. ''.,,. '".,.. dont les dénominateurs — ■ * » 1 1 1 premiers avec N , dont le déterminant '',,'',, — '".,,'",. — — '■ rl ''"'s (l'"'

'ii ''2.w. + r«(".

Démonstration. Déterminons un idéal h' équivaleril à l) ; l)'=f:t) premier

avec Nd.

Vinsi que non-- l'avons déjà ulilisé dans la démonstration du théorème io3, « = +;/' h' esl égal à la norme d'un nombre -/. entier ou fractionnaire du corps/,-, si l'on choisit le signe + ou le signe — d'après les conventions du paragraphe 65.

L'idéal al)'= j''A\ admet les nombres de base

"i'i"u. ",.,- ".,,. aM sont des entiers rationnels. Comme n(«V) " • le déterminant a a. — g g = -t-7î'. el par suite les quatre nombres

— 'lu ■ - = 5a ■ = 5îî • — fa

" 7Ï " H 'si ;| /(

ont les propriétés indiquées dans l'énoncé.

S 73. — Les idéaux ambiges.

Nous dirons qu'un idéal a du corps k est un idéal ambige si l'opération

s=.\\/m\ — v"0 le laisse inaltéré el s'il ne contienl pas d'autre facteur entier rationnel que + ' (voir s 57). On a le

Théorème ioô. — Les / idéaux premiers C4, l, 1, distincts contenus dans le

discriminant d du corps k sont des idéaux ambiges premiers du corps k, el il n'\

en a pas d'autres. Les 2' idéaux 1, lt, l lt l , it lt ... I, forment l'ensemble

de tous les idéaux ambiges du corps k .

Démonstration. — Que les idéaux premiers I, it sont ambiges el qu'il u'\ en

a pas d'autres, cela résulte du théorème 90. Soit maintenant a = p.q...r un idéal ambige quelconque décomposé en idéaux premiers ; comme a = sa, il faut que les

idéaux conjugués à p. q r. sp, sq .sr, abstraction faite de leur ordre,

soient égaux à p, q t. Si on avait, par exemple, .sp = q, a contiendrait le lacleur p.'.'V , qui est un entier rationnel; comme ceci est contraire à la définition d'un idéal ambige, il faut que p = sp, q=.sq, .... c'est-à-dire que tous les idéaux soienl

ambiges. Comme les carrés des idéaux 1 lr s"nt c'es entiers rationnels, nous en

concilierons que p, q r sont nécessairement distincts, et la dernière partie du

théorème ioô est démontrée.

§ 7'i. Les classes ambiges d'idéaux.

Soit a un idéal de la classe \ ; nous désignerons par sA la classe à laquelle appartient .vil , Et, en particulier, si V = s \ , la classe d'idéaux ,\ est dite une classe ambige d'idéaux. Comme le produit asa -». 1. \..s-A = 1 : el par suite, le carré de toute classe ambige est égal à la classe principale 1. Réciproquement, lorsque le carré d'une

classe A (''gale 1, A = — = sA, el par suite la classe V esl ambige.

§ ^5. — Les classes

VMBIGES I) [DEA1 \ DETERMINEES I» M» LES IDEAUX AMBIGES.

Il s'agil maintenant d'établir les classes ambiges de /.-. Comme tout idéal ambige a détermine une classe ambige en vertu de sa propriété a = sa, il nous faut d'abord rechercher combien de classes ambiges distinctes résultent des 2' idéaux ambiges. [Vous dirons que plusieurs classes d'idéaux sont dusses d'idéaux indépendantes lorsqu'aucune d'elles n'est égale à la classe 1 et lorsqu'elle n'est pas non plus égale à un produit de puissances des autres classes, ftous énoncerons alors le

Théorème io(>. — Les / idéaux premiers ambiges déterminent toujours I— 1 classes ambiges indépendantes dans le cas d'un corps imaginaire: dans le cas d'un corps réel, elles déterminent / — 2 ou / — 1 classes indépendantes, suivant que la norme de l'unité fondamentale s du corps «l 1 = + 1 ou — 1. L'ensemble des ■>' idéaux ambiges détermine, dans le cas d'un corps imaginaire a'-2 et dans le cas d'un corps réel :>'"' ou a4-' classes indépendantes, la distinction entre -i'^'' ou a'-1 se faisant par le signe de ni s).

Démonstration. — Le produit de tous les idéaux premiers facteurs de m esl égal à v/flï; il est dune un idéal principal de k. Soit d'abord m négatif, mais différent de

1 Pt de 3, et suit (7.1 un idéal principal ambige de k; on a nécessairement

a«— « — | t ft car x1""* est une unité, e ne pouvant être égal qu'à o ou à 1. Il en résulte

que

! a(v/m)B i ''"" = ' ou ■( V7'")" = * ! -ÂV'")" ' .

c'est-à-dire que %{\fïn)e est un entier rationnel. Ce qui démontre que dans un corps imaginaire, l>{\/— >) et k(\/—'i) exceptés, il ne peut \ avoir d'autre idéal principal ambige que 1 et \Jm. Les deux exceptions, traitées en particulier, donnent immédiatement le résultat énoncé au théorème 10O.

Soit un corps réel, pour lequel n(e)= + 1 : d'après le théorème 90, E==a1*, où x est un nombre de k que nous avons le droit de supposer dégagé de tout facteur rationnel différent de±i- Comme ?. = :.*-/. i v 1 est un idéal principal ambige. Cet idéal principal (a) esl distinct de 1 et de \ m, car si l'on avait x=±e/ ou ==■+ i'\ m . où /esl un entier rationnel, on aurait

,'—=.(— !)'£(•-*) = (—l)V (<?=0 OU l),

mais ce î bre esl toujours différent de :. Si. d'autre part, a' est un idéal princi] al

ambige quelconque du corps k, on a nécessairement a"-s=( — i)eE , où e et J Font de- entiers rationnels. Posons x" — -. — =7 — ; on voil que iM-*= 1, c'est-à dire que

(vMv

a." est un nombre rationnel, el par suite, nuire i, y m ef x, il ne peul \ avoir qu'un idéal principal ambige obtenu en débarrassant le produit \ m. a de tout facteur rationnel différent de -+- 1.

D'autre part, si n(e) = — 1. il u'\ a pas dans k d'idéal principal ambige différent de 1 et de y ni . car, soit y un idéal ambige quelconque de le, on aurait nécessairement

avec e et / entiers rationnels, el comme n(a*~")=+ 1. (/»(£))'= + r, c'est-à-dire que /'esl pair, l'osons

nous trouvons x"* = 4- 1, c'est-à-dire que ■/' esl un nombre rationnel.

Nous exprimerons donc un des / idéaux premiers ambiges <le /,■ approprié au moyen de \/ni et des / — 1 autres idéaux premiers ambiges, el lorsque le corps esl réel el que n(s) = + 1 • nous choisirons parmi ces / - — 1 idéaux premiers ambigi s un idéal approprié que nous exprimerons au moyen de a el des / — ■>. autres. Ceci nous montre que la deuxième partie du théorème 10G est exacte.

S 76. — Les classes imbiges d'idéaux qui ne contiennent pas d'idéal imbige.

Théorème 107. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un corps quadratique />■ contienne une classe ambige qui ne contienne pas elle-même d'idéal ambige est que le système de caractères de — 1 soit composé d'unités tout :s positives et que la norme de l'unité fondamentale n(e)= + 1. Lorsque ces conditions sont remplies, les classes ayant celle propriété s'obtiennent en multiplia ni l'une quelconque d'entre elles successivement par chacune des classes provenant des idéaux ambiges.

Démonstration. — Lorsque le corps /.■ est réel et que le système des caractères de - 1 n'est composé que d'unités positives, il y a toujours dans k, d'après le théorème io-3, un nombre entier ou fractionnaire a. dont la norme égale — 1. Si. de plus, la norme de l'unité fondamentale «( = )= + 1 . ce nombre -1. esl nécessairement fractionnaire. Posons a = — . où j et j' sont des idéaux premiers entre eux; il en résulte

que - — = 1, et par suite j' = .çj; par suite, j -«. si et j détermine une classe ambige. j.s)

Cette classe ambige ne contienl pas d'idéal ambige. car si un idéal de cette classe a = jft. où [is est un nombre de A- entier ou fractionnaire, était ambige, on en concluerait que o1— * = a16'— *, el par snile af»d ' serait une unité, par exemple = ( — 1 i'V. el par suite n(a)=4- 1, ce qui esl contraire à la façon dont v. a été obtenu. Ceci nous prouve que la classe j ne contient pas d'idéal ambige.

G H. HTLBERT.

Suit maintenant A une classe ambige quelconque donnée et ; Un de ses idéaux, j1-* est égal à un nombre entier ou fractionnaire i du corps h et, de plus, n(a) = + i ou — i. Le premier cas est le seul possible, lorsque le corps est imaginaire ou lorsque

le corps k est réel et que l'un au moins des caractères ( - — ) est égal à — i.

Comme n(a)^-f- i, il résulte du théorème 90 que - = V v, [i étant un nombre

entier de k, et alors (jfi)'- * = 1, c'est-à-dire que jS est le produit d'un idéal ambige par un nombre rationnel et la classe A contient un idéal ambige. D'autre part, si //vi = — 1 avec n(î) = — 1, n(za)-=-\- 1, et nous démontrerons connue précédemment que 1m classe A contient un idéal ambige. Ceci nous montre que toute classe ambige contient un idéal ambige dans le cas où le corps est imaginaire ou bien dans le cas où le corps est réel et cjue l'un des caractères de — 1 égale — 1, ou encore que n 0 = -i.

Admettons maintenant que, dans le cas où aucune de ces circonstances ne se produit, il v ait dans /,• plusieurs classes ambiges d'idéaux qui ne contiennent pas d'idéal ambige, et prenons dans l'une d'elles un idéal j, dans une autre un idéal j'; les développements qui précèdent montrent que les nonnes des deux nombres

■j. = j'"\ ■/' = j"-* sont égales toutes deux à — 1 . et par suite ni — ) = + '• Le théo-

renie qo nous permet de mettre — = fc1-*, S un nombre convenablement choisi de /.'.

Posons -r-=oa, ou // est rationnel et a un idéal sans facteur rationnel rb+i,

= 1 entraîne a = sa. c est-a-dire que a est un idéal ambige, et on a j =<ij. Ce qui démontre la dernière partie du théorème 107.

S 77 , - — Le sombre de toutes les classes ambiges.

Les théorèmes [06 el 107 permettent d'énumérer toutes les classes ambiges.

Théorème 108. — Dans tous les cas, le corps k contient exactement /■ — 1 classes ambiges indépendantes, r étanl le nombre des caractères qui détermine le genre d'une classe. Le nombre total des classes ambiges distinctes est par suite >'~'.

Démonstration. — Soil encore / le nombre des entiers premiers rationnels contenus dans le discriminanl <! du corps /.'. Considérons d'abord le cas où /,• est un corps imaginaire. Il résulte des théorèmes io6el 1 07 qu'il y a exactement a'-1 classes ambiges dans k\ elles résultent toutes d'idéaux ambiges. Supposons le corps I; réel : si le système des caractères de — 1 dans k ne cou lient (pie des unités positives, il j a exactemenl •>' ' classes ambiges dans k\ ces •/ ' proviennent toutes d'idéaux ambiges

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES Al.i.l lilili iris. 1 2"]

ou la moitié d'entre elles proviennent d'idéaux ambiges suivant que rt(s) i ou

/!(;)= -|- i. Toutefois, si — i a au iu<iiiis un caractère négatif, n(t) ; r, el les théorèmes 106 et ro7 nous affirment qu'il n'j a alors que 2' classes ambiges dans k, provenant toutes d'idéaux ambiges. Mais le nombre « b^ caractères =/ — 1 lorsque le corps est réel el que le nombre — 1 a au moins un caractère négatif; on a /■ = / dans tons les antres cas. Le théorème 108 est démontré.

S 78. — La démonstration vrithmétique de l'existence des genres.

Les résultats acquis nous permettent d'évaluer le nombre des genres el de répondre à la question posée au théorème 100; car il nous est facile de démontrer que ce nombre est égal à ■>.' ' et, par suite, que Imis les systèmes de caractères qui satisfont au\ conditions du théorème 100 sont représentés parmi les genres. Nous désignerons par g le nombre des genres el par /'le nombre des classes du genre principal. D'après le paragraphe (i(i. tous les genres renferment le même nombre de classes,

par suite le nombre des classes /» = r//. Désignons par H, Il les / classes du

genre principal: le théorème io3 nous apprend que nous pouvons écrire H, = K°

]\f=l\f. où k, k; représentent /' certaines classes du cm ps.

Soit alors C une clajse quelconque du corps; comme Cs appartient au genre principal, C8 = K„, où k„ représente une classe bien déterminée parmi les/classes K,,

.... K.- que nous venons de définir. Mors la classe —, c'est-à-dire la classe A parfai-

lenienl déterminée pour laquelle C=AK„, est une classe ambige el par suite l'expression Ak. où A représente successivement toutes les classes ambiges el où k prend

toutes les valeurs K, K,, l'on mil 1 ou les les classes dn corps et ne donne chacune

d'elles qu'une fois. Mais d'après le théorème io8. le nombre des classes ambiges est 2'"'; par suite h = 2r~'f, el comme A = j/, on voit que g-—-/^'. Le théorème fondamental 100 est complètement démontré. [Gauss1.]

S 79. — La représentation transcendante du nombre i>i s classes; elle permi i d'établir que LA LIMITE ll'l \ CERTAIN prodi it infini est positive.

La deuxième démonstration de l'existence des a'-1 genres s'appuie sur des considérations transcendantes.

Théorème 109. — Le nombre // des classes d'idéaux du corps /,• de discriminant d est déterminé par la formule

«=! IP) fcl\ -s

le produit du second membre s'étend à tous les nombres premiers p rationnels et le symbole - ) a le sens fixé au paragraphe 61. Le facteur ■/., suivant que /,■ est imaginaire ou réel, c'est-à-dire suivant que (/est négatif ou positif, a la valeur

w a la valeur 6 pour </= — 3, pour d= — k la valeur 4; il est égal à ■>. pour toute autre valeur négative île d; d'autre pari, pour toul corps réel £ sera celle de ses quatre unités fondamentales, qui est > i, et log e sera la partie réelle du logarithme de celle uuilé fondamentale s. [Dirichlet8'9.]

Dcinonslriilion. — D'après le paragraphe 27, on a. tant que s est réel et > 1 :

le produil s'étendant à tous les idéaux premiers du corps /.•. Ordonnons ce produit d'après les nombres premiers rationnels p d'où proviennent ces idéaux premiers p: on voit, d'après le théorème 97, qu'à tout nombre premier rationnel p correspond dans ce produit le facteur

suivant que - = + 1, = — 1, =0. i\ous écrirons ces trois expressions sous une

\PJ forme qui leur est commune

el m >us obtenons

•;,*>= 11 — L jii

(pi 1 — p ' w I f^\p—

où les deux produits du second membre s'étendent à tous les nombres premiers rationnels /*. En vertu de

L S -s- — . ) Il — t-=il= L l(s-i)l-i( = i,

où ;; prend toutes les valeurs entières rationnelles, L !(s- i)Ç(*)h= L 11 -

THEORIE [>KS COUPS DE .NOMBRES ALI.USIUnl IV l'ij

Notre théorème ion va résulter du théorème 56, si nous évaluons /. d'après !<■ paragraphe a5. Pour trouver w, il faut remarquer que le corps /.'(v — 3J con lient

six racines de l'unité ± '» ± et que Ie corps /.(y7 — i) contienl les

quatre racines de l'unité -t-i. -t-i: par contre, tout autre corps imaginaire /.■ ne con tient que les deux racines de l'unité ± •■ (Comparez 5 62.)

La conséquence la plus importante que aous en tirerons est le

Théorème 1 10. — Soil a un aombre entier rationnel quelconque positif ou négatif, non carré parfait: la limite de

L il

uits

Ipl

\pj

est toujours une grandeur finie différente de o. [Dirichlef'9.]

Démonstration. — Suit a = 6'm, b' étant le pins grand carré contenu dans </:

suit, de plus, d le discriminant du corps déterminé par \a. Pour tout nombre pre-

fa\ fd\ mier impair/) qui ne divise pas II on a j — 1 = 1 — 1 les deux pu ni 11