II -, et
ne peuvent différer que d'un nombre fini de facteurs. Le premier produit restant fini pours = i, d'après le théorème 109, il s'ensuit que le second tend vers une limite
finie.
$ 80. — IL Y A INE INFINITÉ DE NOMBRES PREMIERS RATIONNELS l'Ail RAPPORT AUXQI I I S LES CARACTÈRES DE RESTES QUADRATIQUES DES NOMBRES DONNÉS SONT DONNES.
Le théorème 1 10 va nous permettre de démontrer les propositions suivantes : [Dirichlet", Rronecker "'.]
Théorème iii. — Soient a,, «., '/,, t nombres entiers rationnels quelconques
positifs ou négatifs, mais tels qu'aucun îles 2' — 1 nombres a4, a, a,; ","..
• ••>r',,",; ....",'?.. ...,'/, ne soil un carré, et désignons parc,, c4, ..... ct, / uniiés quelconques +1 ou — 1, il j a une infinité de nombres premiers rationnels^, tels que
ÎH- ©=<• (î
l30 D. HILBER'f.
Démonstration. — Tant que s>i,
log S —, — i: log — î-— = s ^ + S , - i») » ij>) i — /J (p) /J
L'expression S, on l'a montré au paragraphe 5o, reste finie pour s = i; il eu résulte que la somme (''tendue à tous les nombres premiers rationnels /)
croît au delà de toute limite lorsque s tend vers l'unité. Soit, de plus. '/ un nombre entier rationnel quelconque; on a pour .s> i
log II -i- = 2 f-^ + S„.
"~'w\p) pu +'i7)\p) p" +
Lorsque a a'èst pas carré parfait, nous savons (théorème 1 10) que log 1 1
est fini pour s = i, et, comme on peut en dire autant de S„, il en résulte que la somme
" (p) \pJp
tend vers une limite finie pour * = 1. Remplaçons dans (37)
et donnons à chacun des / exposants a( . «.,, ... , a, la valent o ou 1. en exceptant toutefois le système de valeurs
Multiplions ensuite chacune des sommes déduites ainsi de (27) par le facteur correspondant c"'c'.!'cï' , et additionnant les 2' — 1 expressions à (26), il nous vient
Cette somme, tout comme la somme 20, croîtra indéfiniment quand s tend vers 1. Faisant abstraction des nombres premiers /* contenus dans a,, a, a,, el
qui sont en nombre fini , la somme (28) égale 2'H — . où p' no prend que les valeurs
des nombres premiers /* qui remplissent toutes les conditions de l'énoncé du théorème m. Et comme celle s., iiinie croit elle aussi au delà de toute limite, il faut que les n bres premiers p' existent en nombre infini. Le théorème 111 est démontre.
!« Si. — L'existence d'une infinité d'idéaux premiers de caractères donnés dans i \
CORPS i.H \l'l; \ riQl E.
Théorème 112. — Soienl
■/.,= { — -lt — ). .... m = { — j —
les ;• caractères qui détermineni le genre d'un idéal i de /,-. el soient c, cr.
/•unités quelconques -f- 1 satisfaisant à la condition ct...c,.= + 1 ; il \ a une infinité d'idéaux premiers p du corps k pour lesquels
■/i(p) = c1, .... /s(p) = cr.
Démonstration. — Supposons que le discriminant du corps contienne les / nombres premiers rationnels /, /,: /=r ou =•/•+ 1, dans ce dernier cas, suil
- — | = — 1, et la condition ( I = + 1 servira a détermine] le signe
devant n(j). Nous écrirons dans ce cas <', = <■, ,= + i. Nous démontrerons d'abord qu'il y a une infinité de nombres premiers rationnels /) pour lesquels
et nous distinguerons pour cela trois cas. suivant que
m = 1 m = 3 mi m^ 2 suivant \.
Dans le premier cas. nous partirons de l'hypothèse
Le théorème 111 nous apprend qu'il y a une infinité de nombres premiers /< qui
satisfont à ces conditions. Comme la première condition revient à p = 1 suivant '1. on a pour ces nombres premiers p
pour /= 1 / .
Dans le second cas. désignons par L celui des nombres premiers /, /,. qui est
égal à 2. Soit alors c. = — 1 : nous prendrons comme point de départ l'hypothèse
— = + 1, (^) = e, ('='■■■■—'.-'••-.'). P J \pJ
e| il résulte du théorème 1 1 1 qu'il existe une infinité de nombres premiers p satisfaisant à ces et . de plus.
faisant à ces conditions. La première égalité nous apprend que ( — - - i = + i = c.
pi Kir i = i Z — i . z + i » • • • • '•
Par contre, si c. = — i . nous admettrons que
et les nombres premiers icn nombre infini) cpii remplissent ces conditions satisfont
*?)—'-■ - (P-fM!H->^H'
pou r i = i z — i . : + i t.
Dans le troisième cas. nous considérerons en particulier /. = 2. \uus admettrons que
v)=+i- Gî=e- G)=c< ,i=i ^-p ••■'"•
le théorème 1 1 1 nous montre qu'il y a une infinité de nombres premiers satisfaisant
.1 ces conditions et pour lesquels
«■I . de plus,
pour < = 1 c — 1 . r + 1 /.
Soit alors p l'un quelconque des nombres premiers rationnels p, tels que
D'après le lemme i4, on a
II fp, m^ f p, m^ fp, m^ fp. m
et, par suite,
"sr;-riTA-r
c'est-à-dire que p, dans le corps /r. se décompose en deux idéaux premiers p et p'. Chacun de ces idéaux p et p' répond aux conditions du théorème 112: c'est ce que non-. voulions démuni ni.
THÉORIE DES CUHTS L)E NOMBRES W.cl' lîlilcjl ES. (33
§ 8a. — L\ DÉMONSTRATION TRANSCENDANTE DE L'EXISTENCE DES GENRES II DES RÉSI i I M -
énoncés i>i S 71 u ^77-
Le théorème 1 1 ■>. démontre l'existence des »' ' genres, mais il nous fail décou> rir aussi un fait plus profond.
Théorème i Ci. — Parmi les idéaux d'un genre quelconque du corps quadratique, il y a une infinité d'idéaux premiers.
Lorsqu'on a démontré l'existence des aM genres par ces moyens transcendants el indépendamment des théorèmes 102, io3 et 108, il est facile d'en déduire aussi ces théorèmes. Il suffit de savoir que le nombre a des classes ambiges de k est toujours •^2P~~'. Ce l'ail se déduit du théorème ro6 relatif au nombre des classes ambiges qui proviennent d'idéaux ambiges, en tenant compte des conclusions de la deuxième et de la troisième partie du théorème 107: ces déductions sont tout à l'ail indépendantes du théorème 102.
Soit alors, comme avant, /-le nombre des classés du genre principal, g le nombre des genres et /"le non due de /classes du genre principal qui sont des carrés déclasses. Il en résulte, comme au paragraphe 78, que gf=af, el comme, d'autre part. g = a'-1,, de plus a <J ar~', il faut que /' <C /. et, par suite. J"=f. a = a'"'.
La première égalité démontre le théorème ro3; la seconde, le théorème to8, et, par suite, le. théorème 10a pour 11 = — 1.
Le théorème 102 résulte complètement de io3 et des derniers résultats. Car le nombre n en question, en vertu des conditions qui lui sonl imposées, est alors la norme d'un idéal t) du genre principal, précédé du signe prévu au paragraphe 65.
i) ni fil Désignons par f; un idéal tel que b — fs'!: il faut que -/ = — — , soil un nombre
entier ou fractionnaire du corps k, s\ l'on a n(a) ==-hn, d'où le théorème 102, si, l'on considère qu'il est vrai pour n = — 1.
Niais voyons, en somme, que la méthode transcendante nous permet de démontrer les résultats des paragraphes 71-78 dans l'ordre inverse où les avons trouvés par la voie arithmétique.
$ 83. — Le sens plus étroit de l'équivalence et du concept de classes.
Si nous prenons pour base de l'équivalence de deux idéaux le sens plus étroit exposé au paragraphe ih • les théorèmes établis aux chapitres X\ 11. W III subissent de légères modifications faciles à trouver.
11 est tout d'abord évident que le sens plus étroit de l'équivalence coïncide avec le sens ordinaire dans tous les cas pour un corps imaginaire k, et pour un corps réel /.• lorsque la norme de l'unité fondamentale ï. n(ï) = — 1. Mais lorsque dans un corps réel n(s) = + 1, une classe idéale au sens de la répartition primitive se répartit ici en
I 34 D- «ILBERT.
deux classes; en particulier, la classe des idéaux principaux se décomposera ici en deux classes représentées par l'idéal principal i 1 i et par l'idéal principal (y m). Suit h' le nombre des classes d'idéaux avec le sens plus étroit de l'équivalence; on a, dans les circonstances actuelles, h'=2h. [Dedekind1.]
84. — Le théorème fohdamektal poi r le mm veau concept de classe et de genre.
Vu mus nouveau de classe correspond un sens nouveau de genre. Le genre d'un idéal j du corps l,\\/w) sera dorénavant défini dans tous les cas par les / unités :
Ici. la norme de j sera constamment prise avec le signe +. Pour un corps imaginaire, ce sens nouveau de l'équivalence coïncide totalement avec l'ancien. On peut en dire autant d'un corps réel k, dans le cas où le système de caractères de — 1 n'est composé que d'unités positives. Cette dernière circonstance se présente toujours lorsque dans le corps la norme de l'unité fondamentale est égale à — 1. Supposons donc />• réel et la norme de l'unité fondamentale égale à + 1 : il faut distinguer deux cas, suivant que le système de caractères de — 1 se compose uniquement d'unités positives ou non.
Dans le premier cas. les idéaux (1) et a = {\/m) appartiennent tous deux au même genre, car
Les nouveaux genres comprennent les mêmes classes que les anciens, et le nombre des genres est 2'""'.
Dans le second cas. les deux classes d'idéaux représentés par l'idéal 1 1 ) et l'idéal a = {\/m) appartiennent à deux genres différents des genres nouveaux. Le nombre des genres nouveaux est double de celui des anciens; mais en ce qui concerne ce cas. le nombre des caractères au suis primitif du genre était / — 1, et le nombre de ces genres i'~"~ , tandis que le nombre des nouveaux genres est comme dans les autres cas a'-1. Et comme dans tous les ras le produit
le théorème fondamental 100 est vrai aussi en tenant compte du sens nouveau de (lasser et de genre à la condition d'y écrire / au lieu de r .
Les autres propositions el démonstrations des. chapitres TV "S II et WI1I se modifient île même sans difficulté, et même quelques théorèmes s'énoncent plus simplement.
