CHAPITRE XIX

La détermination du nombre des classes d'idéaux du corps quadratique.

S 85. — Le symbole ( - ] pour r\ nombre composé n.

On obtient une expression remarquable du nombre h des classes d'idéaux du corps quadratique le par la formule du théorème 109, eu transformant par le calcul le nombre

en un nombre fini.

Pour cela, il nous faut d'abord définir le symbole ( - ) . aussi pour le cas où /i est

un nombre entier positif rationnel composé. Soit n=pq ... w, où p. <j w sont

des nombres premiers rationnels égaux ou distincts; nous définirons

de plus, soit f — J = -f- 1 ; on a, pour s > 1 ,

11 L__=.2^JL,

où la somme s'étend à tous les entiers positifs rationnels. Le calcul de la limite de cette somme pour s= 1 nous donne un nombre fini pour le nombre des classes h . Le résultai esl donné parle théorème suivant.

S 86. — L'expression finie donnant le nombre de classes d'idéai \.

Théorème 1 1 4- — Le nombre h des classes d'idéaux du corps l;\\/ m) esl

— w fd\

h = — — ï - « . pour m <To,

a.|d|„, \nj

I Mit

nU~-<

t») [l(eT

U'S , pour m > 1 .

mr.\

[36 D. HtLBERT.

où la somme ï s'étend aux \d\ entiers rationnels «= i. ■>., ... \d\ et où les produits

i»i II, O s'étendent à tous l'es nombres a et b parmi ces \d\ nombres satisfaisant à

ci (»)

(-) = + i et fj-\ = — i. [Dirichlet8-9; Weber*.]

Démonstration. — Soient n el n' deux nombres positifs. Lorsque n el </ ont un

fd\ diviseur commun, ~|=H- i ( - j = o. Par contre, lorsque n est premier avec d, on

voit facilement que I — ) = 11 ( — — ), où le produit s'étend à tous les nombres pre-

miers w qui divisent n. D'après le lemme i!\, II — -?— représente la même unité

lorsque / parcourt toutes les valeurs des nombres premiers contenus dans d. Soit n' = n suivant <l

d'où

(29} (ïO=(ï?)

De plus, on a

(3o) uj+u;+-+u;=o'

car nous pouvons déterminer un nombre b tel que ( j J = — i et on a, en tenant compte

La formule

-; = Tr— / c-"'r-di

donne, en tenant compte de la règle 29,

,=1 („) \nj n s=iJo 1 — e où l'on a pnsé

L'égalité 3o nous montre que F(x) admet le facteur 1 — as, et la fonction ration-

FCe-') nelle ^ est finie pour/ = o.

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES \M,l l'.lihM ES. Aussi

'iJo i— e-"' /o i

-T-. 'Il ■

'il

faisons le changement de variable a: = e— , on a

-' Fu-i

dx .

et la décomposition en fractions simples donne

.<■( > - xd) d w

où la somme s'étend à h = i, 2, ... |</|, et, d'après un théorème de Gauss, V\r '' ). c'est-à-dire

n' prend encore les valeurs r, ■>. \d\, et \/d est positif pour d positif, imaginaire positif pour d négatif [voir S 12/1]. Connue, de plus.

nir. ni"

/"' dx , eW — e W i- ,

où il faut prendre la valeur réelle du logarithme, on en tire sans difficulté le résultai du théorème 1 14.

La l'orme de ce résultat est essentiellement différente, suivant que le corps est imaginaire ou réel. Dans le premier cas, /; peut être déduit de la formule indiquée sans plus. Dans le second cas, il faut d'abord connaître l'unité fondamentale i: le quotienl des deux produits II et II est, on le montrera au paragraphe 121, une certaine unité

du corps quadratique provenant de la théorie de la division du cercle.

Prenons comme exemple le cas d'un corps imaginaire, soit m = — p. el // un nombre rationnel premier positif = 3 suivant \ et >3: on a

26 — Sa

ici, Sa, Se désigne l'un la somme des restes quadratiques suivant p, l'autre la son ■

des non-restes compris entre o el p. I né transformation simple permet de faire disparaître le dénominateur p de cette expression. On voit alors que le nombre des classes

h est égal à l'excès du nombre des restes quadratiques de p situés entre o et - sur le

nombre des non-restes compris entre les mêmes limites, ou au tiers de cette différence, suivant quep='7 ou =3 suivant S. Le premier nombre excède donc le second, ce qui n'a pas encore été démontré par une voie purement arithmétique.

[38 D- HII.BERT.

!» (S-. — Le corps de nombres biqi idratiques de Diiughlet.

Le problème suivanl est une généralisation de la théorie du corps quadratique qui vient d'être développée. Au lieu de prendre connue base le domaine de rationalité formé par tous les nombres naturels rationnels, nous prendrons comme base le domaine de rationalité formé par un corps quadratique k; el nous examinerons les corps K quadratiques relatifs par rapport à k, c'est-à-dire les corps biquadraliqurs K qui admettent le corps donné /,• comme sous-corps.

Lorsque le corps k rsl déterminé par l'unité imaginaire y — i, le corps K sera dit le corps biquadratique de Dirichlet. On possède des recherches étendues pour ce corps. [ Dirichlet "'• "■ '-, Eisenstein 3-6, baehmann '■ \ Minnigerode ', Hilbert4.] Le théorème 100 s'applique encore à la répartition correspondante des idéaux du corps k en genres; ce théorème s'applique avec une transformation appropriée et les deux méthodes de démonstration du chapitre M III peuvent être employées dans le corps K. de suite que ce théorème fondamental pour le corps quadratique de Dirichlel peut être établi aussi bien sur une hase pu renient arithmétique [Hilbert l] qu'au moyen de la méthode transcendante de Dirichlet [ Dirichlet '"■ "■ '-. Minnigerode1].

^i le corps k contient, outre le corps quadratique y — i. deux autres corps quadratiques l:\y-\- m) et k[y — m), présente un intérêt particulier. Pour un pareil corps spécial de Dirichlet K, on a le fait suivant, auquel on parvient encore par la voie transcendante ou par la voie purement arithmétique.

Théorème 11G. — Le nombre des classes d'idéaux d'un corps spécial biquadratique de Dirichlet K{\/ 4- m. y — m) est le produit du nombre des classes dans les corps quadratiques A*(y4- m) el k[y — m ou la moitié de ce produit, suivant que la norme relative par rapport à k\y — i) de l'unité fondamentale du corps k rsl égale à -f- i ou à + i. Dirichlet désigne ce théorème comme l'un des plus beaux de la théorie des imaginaires el il le trouve surprenant, parce qu'il révèle un rapporl en li • 1rs deux corps quadratiques déterminés par la racine de deux nombres opposés. La démonstration arithmétique de ce théorème permet, et cela d'une façon 1res simple, de distinguer au moyen de certaines conditions remplies par les caractères

du genre les classes d'idéaux des corps biquadraliques K\y-\-m, \J — m) qui peuvent être considérées comme le produit d'une classe d'idéaux de l<\y + m) el d'une d'une classe d'idéaux de A- (y/ — m). [Hilbert l.]

THEORIE DES COUPS UK NOMBRES ALGEBRIQUES. I .)()