CHAPITRE XX

Les anneaux de nombres et les modules du corps quadratique.

S 88. — Les anneaux de nombres du corps quadratique.

La théorie dos anneaux el dis modules d'un corps quadratique s'obtienl rapidement en particularisant les théorèmes généraux du chapitre 1\. On s'aperçoit facilement que tout anneau du corps est obtenu au moyen d'un seul nombre de la forme /m, où w est le nombre défini au paragraphe 5o, celui qui forme avec i une base du corps /.'. où/est un certain nombre entier rationnel, le conducteur de l'anneau. Si. de plus, '/est négatif et < — 4, le théorème 66 nous apprend que le nombre hr des classes régulières de l'anneau r est donné par la formule

mi le produit s'étend à Imites les valeurs des entiers rationnels premiers // contenus dans/. [Dedekind '• :i.]

§ 8o. — l> théorème relatif ai x classes de modeles du coups ()[ idratique. Les formes oi adratiques binaires.

Théorème ii6. — Dans une classe de modules du corps quadratique k, il \ a toujours des idéaux d'anneaux réguliers. [Dedekind '.]

Démonstration. — Soit [;/, , y..] un module quelconque du corps k , où ;;., el ■>.. sont des nombres entiers, et soit ;*=/*(/ et le discriminant de la classe de modules déterminée par [;j., . [j.J ; de plus, désignons par m = (;.>.,, y.j l'idéal déterminé par les nombres \xt et ;j.., et soit snt = m' l'idéal conjugué de m. Déterminons un entier du

corps k. a., divisible par m' et tel que — - soit premier avec i> . Posons alors

' /Il 1111 ■- n(lll)

alors [a,, xj sera un module équivalente [ja,, y. J . alors que l'idéal a = u,. xj est premier avec ^.

D. IIII.1SKK T.

Supposons ? pair, nous considérerons d'abord les trois entiers ■/,. ?... i, + a,; parmi ces nombres, l'un au moins est premier avec 2, sans quoi, parmi ces trois nombres.

deux au moins auraient un diviseur idéal c iimn avec 2, ce qui est contraire à

l'hypothèse que l'idéal a est premier avec D. Suit ■ji premier avec 2. Désignons par

n. ,y. /■ ir \r- facteurs premiers rationnels impairs de ^. Comme a est premier

avec p, il faut que l'un au moins des trois nombres a,. x, + y.,, a, + 2ao soit premier avec /'. Supposons a, + x%, premier avec />. a, + va, premier avec q, où x, y. ... sont des entiers rationnels. 11 en résultera facilement l'existence d'un entier rationnel n. tel que -/., + si, soit premier avec ^.

Posons alors

|»ù, + <fO\ a,(a(' + a*s')

ma)

ma)

où oc '. -j.' sont les nombres conjugués de •/,, y,: alors /< est un entier rationnel positif et S un entier algébrique, et le module [a,, *J = [*1 + «*„, ï,] est équivalent au module [/;, fj], et. en même temps, comme [l>. ji):

' -\- (1 y. ' — -. la norme N(b, 'i) = b.

Le modu/e [6, 6] est évidemment un idéal d'anneau régulier de l'anneau /• déterminé

pai le nombre 'i . /' = ( 'i ) : le théorème 1 16 est complètement démontré. \ cause de

\ri(b, p)|«

1, fi

le discriminant de l'anneau r est égal au discriminant de la classe de module considérée. L'anneau /'est le seul qui olïre parmi ses idéaux d'anneau réguliers des modules équivalents à [>/, . (/.,]. Le théorème 1 i(> nous montre que. pour le corps quadratique, cela revient au même de considérer les classes de modules ou les classes d'anneaux réguliers.

D'après les raisonnements des paragraphes 3o et 33, on voit qu'à chaque classe de modules d'un corps quadratique k(\/m) correspond une classe de formes binaires quadratiquesà coefficients entierset rationnels, et, réciproquement, à chaque pareille classe de formes dont le discriminant n'est pas un carré, correspond une classe de modules d'un corps quadratique, où les classes de modules et les formes ont même discriminant. Nous avons complètement terminé les recherches sur les corps quadratiques de discriminant donné ^ .

S ;iii.

L\ THÉORIE [INFÉRIEURE ET LA THÉORIE -1 PÉRIE1 RE 111 COUPS QUADRATIQUl

Les recherches faites dans la troisième partie de ce livre forment la théorie inférieure du corps quadratique; je désigne par théorie supérieure les propriétés du corps

THÉORIE DKS COUPS DK NOMBRES ALGEBRIQUES. I '\ I

quadratique qui nécessitent, pour 1rs établir, l'emploi de corps auxiliaires de degré plus élevé. On trouvera un chapitre relatif à celte théorie dans la quatrième partie.

Pour construire la théorie d'un corps de classe relatif à un corps imaginaire quadratique et du corps relatif abélien correspondant, il faut le secours de la multiplication complexe des fonctions elliptiques, et ceci est un obstacle <|ui m'a empêché d'introduire cette étude dans mon rapport.

THÉORIE

MEMOIRE de M. David Hilbert,

Professeur à l'Université de Gœitingen.

l'I I'.]. Il' PAR I. \ SOCIÉTÉ

DEUTSCHE MATHEMATIKER YERElMGUN<i. en 1897.

Traduit ijak M. Th. Got.

Ancien Ingénieur de la Marine.

Agrégé îles Sciences mathématiques.