CHAPITRE XXI
Les racines de 1 unité d'indice premier 1 et le corps circulaire qu'elles définissent.
S 91. — Degré i>i corps circi laire des /"""" racines de l'usité et décomposition
lil NOMBRE PRE 1ER / D.4ÎSS CE CORPS.
Soil /un nombre premier impair et £ = e ' . L'équation île degré /
a les / racine-.
Ces nombres smil les racines /"""" de l'imité. Le corps qu'elles définissent, c 1>. s'appellera le corps circulaire des racines / « de l'unité. On a d'abord la proposition suivante :
Théorème 117. — Le degré du corps cQ est / — 1. Le nombre premier / admet dans c(Ç) la décomposition /= l'~~ ', 1 étant l'idéal premier du premier degré (1 — Ç).
Démonstration. — Le nombre Z vérifie l'équation
le degré du corps est donc au plus / — 1 : Z, £*, ... , £'1 étant les / — 1 racines de cette équation, on a identiquement en x :
x1-' + x'~* + ... + i=(x — ç)(œ — :*)... (as — r'-).
D'où, pour as== 1,
Soit maintenant g un entier quelconque > i non divisible par /, et soit g' un entier positif tel que </;/' = 1 mod /. Alors les quotients
el
1 + :" + l;5' + ... +Vg-ih
sont deux entiers algébriques, et par suite
<'st une unité du corps c(Q. Si nous posons de plus ). = 1 — '1 et l = i/i, la formule (3i) prend la forme
(3a) l = -/J-^i3...il l = l'-'.
On conclut immédiatement du théorème 33 qu'un nombre premier rationnel ne peut, dans un corps donné, être le produit d'un nombre d'idéaux premiers supérieur au degré du corps.- Le degré du corps c(t) doit donc, vu la formule (3a), être au inoins égal à / — 1: d'après ce qui précède, il est donc exactement égal à / — 1. D'autre part, pour la même raison, l'idéal 1 doit être indécomposable dans c(Ç) et, par suite, c'est un idéal premier. [Dedekind1.]
Ce résultat montre en même temps que le polynôme Vt.v) est irréductible dans le domaine des nombres rationnels.
THÉORIE I>i:s COUPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l'i»
S oa. — Base et discriminant di corps circulaire. Théorème 118. — Dans le corps c(Ç) les aombres
forment une base. Le discriminant du corps est
rf=(-l)T(-, Démonstration. — La différente du nombre l dans le corps c(Ç) est
De
(œ— i)F(œ) = œ<— i on lire
(X , ) '-ll±L + F(as) = /a-'"', donc 3 = ^- :
d'après la remarque faite au paragraphe 3, le discriminant du nombre '-' est alors
Comme le discriminant '/(À) du nombre À a certainement la même valeur d(£), la remarque faite pour la formule (i) dans la démonstration du théorème .">. paragraphe 3, montre que tout entier x du corps c(Q peut être mis sous la forme
(33) 7. = pj ,
<i . u . ,.., a, étant des entiers rationnels.
Les nombres a0. at </,,, doivent alors nécessairement être tous di\ isibles par
le dénominateur l'~~. Pour montrer d'abord qu'ils sont divisibles une fois par /. supposons qu'il y en ait de non di\ isibles par / et soit a le premier; de /"-3a = o, mod / résulterait alors, vu /= t1-1, «„}/' = o, mod V ', c'est-à-dire ar' = o. mod (. el par suite aussi mod / contrairement à l'hypothèse. On peut donc supprimer un facteur l au numérateur et au dénominateur de (33). En poursuivant cette Simplification, on voit finalement que tout entier x du corps ni;), dans ses représentations
a = aa + a,A + ... + ",,À'-'2 = b0 + b£ + ... + b^1"
avec des coefficients rationnels a„, '/, a,,ou i>(, 6,, .... bl i, àdmel pour tous
ces derniers des valeurs entières.
Puisque les puissances i. ',' "J~" du nombre £ forment donc une base du
corps c(Q, le discriminant tf(£) du nombre 'c est en même temps le discriminant du corps.
r4<) D. I1II.BERT.
