S ().'). — DÉCOMPOSITION DES NOMBRES PREMIERS DIFFÉRENTS I>E

La décomposition du nombre premier / dans c(Ç) a été donnée dans le théorème i 17. Pour celle des autres nombres premiers, on a la règle suivante :

Théorème i 19. — p étant un nombre premier différent de /et/le plus petit exposant positif pour lequel //=i. mcd /. si l'on pnse / — i=e/. on a dans c(Ç) la décompositii in

où p, p'' sonl des idéaux premiers distincts de degré /de c(Ç). [Ruminer3- ".]

Démonstration. — Soit a. = a ■+- a,Ç + ... + ",.,-î'~s un entier arbitraire de n''<: on a les congruences

g." == (a + a, Ç + . . . + a,, :'"* 1' =0 + 0^" + . . . + a,, :p('-0-' I mod p 1 .

■jr = {a + aj? + ... + a(, £><'-»>)" = a + «, >' + . . . + a,s L;*1"-*-' (mod /y 1 .

a.pr=(a + 'i^-i'-1 + ... + a/,':"^'i'--i)p=a ■+- a, ï*' + ... + a,sÇ',/'<'->) = a (modp).

Si maintenant p est un idéal premier divisant //. la congruence 0^=2 (mod p) est vérifiée a fortiori mod p. c'est-à-dire la congruence

est vérifiée par n'importe quel entier de c(£). Le nombre des racines de œtte congruence incongrues mod p est par suite égal au nombre des entiers de c incongrus mod p. c'est-à-dire ;'i /np)=p' . /" désignant le degré de l'idéal premier p: mais le degré de l;i congruence (34) est p' . On a dune (théorème 36) pr^.pr. c'est-à-dire

D'autre part, vu le théorème de Fermât généralisé (théorème ai), on a sûrement

(35) C^-ssi, (»)■

Comme, vu la formule (3i), pour un exposant g non divisible par/ le nombre 1 — '" est toujours premier à p. il résulte de la congruence (35)// — 1 =0, mod /. et par suite /'^-/. Donc/'=/, c'est-à-dire que tout idéal premier "diviseur de p est de degré /.

Comme p ne di\isc pas le discriminant du corps c(Ç), il résulte du théorème 3i que p se décompose en idéaux premiers tous distincts. En posant p = pt ... pe', on a n(p)=pl~'=;pe'r, c'est-à-dire / — i=e/. e' = e. La démonstration du théorème 11g est ainsi complète.

Pour obtenir effectivemenl les idéaux premiers p, i\. appliquons le théorème 33, en ayant égard à la remarque faite à ce sujet paragraphe i3. < m a, d'après cela, la décomposition identique mod p

où F,(a;) Fe(sc) sont des polynômes entiers de degré/à coefficients entiers, irréductibles et incongrus mod /). Ces fonctions une fois déterminées, on obtient la représentation cherchée par les formules

*. = (/»■ F.co) "•■ = (/'• F.(0)C).