CHAPITRE XXII

Hacines miè,nes de l'unité, m étant composé, et corps circulaire

correspondant.

§ i|'i. — Le corps des racines /h"1"" de i.'i site.

Soit m un nombre entier positif quelconque et posons z = c". L'équation de

degré m

a les racines

Ces nombres sont les racines m"m" de l'unité; elles définissent un corps c(Z)> appelé le corps circulaire des racines m1"""" de l'unité. Si m est composé, on a

/ . /,, ... étant les facteurs premiers distincts de. m, et l'on peut décomposer — en

fractions simples :

1 at as

où a, , à,, ... sont des entiers positifs ou négatifs et où at est premier à /, , a, à /,. etc.

(!) N. T. — Dans le cas particulier de/= i, c'est-à-dire de p = ml + 1 , on a, en désignant par 0 une racine primitive mod p :

Y(x) = (x-gm){x — gtm) ... (x-g{lJl)m) (mod p), et, par suite,

De là résulte

Z = ZÎZ? •.

en posant

I.e ri.ip- d Z i résulte donc de la combinaison des corps c(Z,) des racines l\< "'""'* de l'iiDité, c(Z,)> etc. Nous commencerons donc par traiter le cas le plus simple, où m = lh ne contient qu'un nombre premier.

S 95. — Degré du corps circulaire des l ièm's racines de l'unité et décomposition

Dl NOMBRE PREMIER / DANS CE CORPS.

Théorème 120. — Que l soit égal à 2 on à un nombre premier impair, le degré du

corps ci Z '• Z =c''- est égal à lk~\l — 1). Le nombre premier / se décompose dans ci Z > (,n / = fi' "— *', iî étant un idéal du premier degré du corps.

Démonstration. — Z vérifie l'équation de degré /''"'(/ — 1)

Si l'on désigne par g un entier non divisible par / et g' un entier tel que gg'i inoil /'', on n oî t . comme au paragraphe 91, <[iie

ainsi (jue l'inverse

sont des entiers du corps; par suite E„ est une unité. On en déduit, comme au paragraphe 91 . 1rs égalités

F(i)=;=n(i-z9)-A(A,"-i,nE!,=8''i"'"-",

i?i (sri

où A = 1 — Z. 8 = (Â) et où les produits doivent être étendus à tous les entiers I" isitifs premiers à / et < /''.

On en conclut, comme paragraphe 91, que le degré du corps est au moins égal .1 / '1 / — 1 1 et a, par suite, exactement celte valeur.

THÉORIE m:s CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQ1 ES. I '|i|

S q(3. — Base et discriminant i>i corps circi laire nrs /''" - racines de i.

Théorème i3i. — Dans le corps circulaire c(Z)> Z=('''- une ',;lx'' esl formée par les nombres

Le discriminanl <lu corps esl

avec le signe — pour C = !\ ou / = 3 mod 4- a\ec le signe + dans les autres cas.

Théorème 122. — p étant un nombre premier différent de / et /étant le plus petil exposant positif pour lequel pr=i, mod l", si l'on pose l''~'(l — i) = ef, on a la décomposition

où ^ %\. sont des idéaux premiers distincts de degré /.

Démonstration analogue à celle des théorèmes i iS et 1 19.

§ ,|- — Le cônes CIRCI LAIRE GÉNÉRAL. DEGRÉ, DISCRIMINANT, IDÉAUX PREMIERS.

Soii maintenant m un produit de puissances de nombres premiers distincts m = /''■ /;';= ... . Le corps c(Z) cl°s m'''""'s racines de l'unité est, comme on l'a vu, le résultai de la composition des corps c(Z,^- C(ZS)> ••• tics racines /';■, /*-•, ... èmes de l'unité. Comme les discriminants de ces derniers sont premiers entre eux, ou déduit immédiatement du théorème 87 (§ 5a) la proposition :

Théorème ia3. — Le degré du corps c(Z) des racines />) = /';■ !'•/ ... i"l"'~ de l'unité

est

Eu appliquant la deuxième partie du théorème 88 et avant égard au théorème 121, on obtient la proposition :

Théorème i a^. — Le corps circulaire c(Z) des miime> racines de l'unité a pour base

Le discriminant du corps c(Z) s'obtienl par l'application de la première partie du théorème 88.

Enfin, on peut réaliser la décomposition d'un nombre premier /; dans le corps

[00 D. 1III.BKRT.

c(Z I en s'appuyant sur le théorème 88 cl les propriétés des corps de décomposition et d'inertie.

On obtient ainsi le théorème *

Théorème 120. -- /) étant un nombre premier non diviseur de m = /J< l*> ..., J le plus petit exposant positif pour lequel pr ~ 1, mod m. si l'on pose <]>(m) = ef, ji se décompose dans c(Z) en

p = %\ ... pe,

V, Ve étant des idéaux premiers distincts de degré /'de C.(Z)-

Si l'on pose m* = p"m, on a dans le corps c(Z*) des m*''mrs racines de l'unité la décomposition

V," SV/ étant des idéaux premiers distincts de degré /de c(Z*)- [Kummer 1S,

Dedekind5, Weber '.]

Démonstration. — Supposons, pour abréger. m = ZJ' /*», et désignons alors par <■"'. c'" les corps circulaires des racines /*<, ;*»>«mes de l'unité.

Soit, p un nombre premier distinct de /,. la et soient p'1', pw deux facteurs premiers idéaux de p dans c'1' et C(,) respectivement: nous désignerons les corps de décomposition de p"1 dans c01 et de p<2> dans e<s| par c',", c^1. Soient /, f les plus petits exposants pour lesquels pr< = 1 mod /*'. //= = 1 mod /';=, et posons

.dois c, , e, sont les degrés des corps ci , ci et /. / les degrés relatifs de c(l1 par rapport à cd et de cw par rapport à c?'. D'après le théorème 88, le nombre premier p se décompose en ele1 idéaux dans le corps ci composé de ci'1 et ci1; ces idéaux sont donc tous premiers du premier degré dans ci' . Nous considérons en particulier l'idéal premier p = (p{''. pM) et nous désignons par V un l'acteur premier de p dans le corps c composé de c'1' et c"1; soit ca le corps île décomposition de l'idéal premier V dans c. Il résulte d'abord de la définition d'un corps de décomposition que ci doit, ou bien coïncider avec ca, ou en faire partie comme sous-corps. Le groupe relatif du corps composé de c1'1, ci par rapport à ci'' ' est cyclique de degré/,; le groupe relatif du corps composé de ci", c"1 par rapport à ci''2' est cyclique de degré/',. Nous en concluons que, / étant le plus petit commun multiple de / et /,. le groupe relatif de c par rapport à c,, ' " ne peut contenir aucun sous-groupe cyclique de degré supérieur à/. Comme c, corps d'inertie de l'idéal premier V- doit avoir un groupe relatif cyclique par rapport à c, et que c(, contient ci , il en résulte que ce groupe relatif cyclique de c par rapport à cd est au plus de degré /.

D'autre part, faisons les remarques suivantes. Les deux corps c et c, ont comme sous-corps commun le corps cd , mais aucun autre de degré supérieur, car au 1 rem (Mit

r.ir

p''1 devrait encore être décomposable dans c'1'. De même les deu\ n>rp> . il -■ ont ci pour plus grand sous-corps commun. Prenons alors <,,' ~' pour domaine de ratio-

ii. î)

nal i té; cit est alors un corps relatif par rapport à <-,, ' ' . qui n'a ni avec < ". ni avec c

aucun sous-corps commun relatif par rapport à c„'~.

Nous en concluons facilement quec^ne peut avoir un degré relatif par rapport

à r!/'J| supérieur à -^ . Le corps <',, esl donc au plus de degré - ' ' /' ~. c'est-à-dire

que le groupe relatif de c par rapport à cd est au moins de degré/. Ceci, joint au théorème démontré plus haut, montre que le degré du groupe relatif de c par rapport à c(, doit être égal à /', ce qui montre l'exactitude du théorème ia5 dans notre cas particulier.

D'après le théorème ia3, z==<'^ satisfait à une équation irréductible F(x) = o de degré 'I>im) à coefficients entiers, et d'après la démonstration <lu théorème 87, cette équation F(cc) = o reste même irréductible si l'on prend pour domaine de rationalité n'importe quel corps dont le discriminant soit premier à m. [Kronecker '• ' .]

Voici comment on forme le polynôme Fin. l'usons, pour abréger, oc"' -- 1 = [m] et

II =['»!

on a

Fi.-

II„II,IIt ...

[Dedekind '. Bachmann2.]

Si « est un entier rationnel el \i un facteur premier de F(oc) premier à m, on voit fpie d'après le théorème m."» on a toujours p= 1 modm. Il y a par suite évidemment une infinité de nombres premiers vérifiant cette congruence.

S 98. — Fnités du coup

Définition des u i \mi— circulaires ».

Théorème 126. — m étant une puissance du nombre premier / et ;/ un nombre non divisible par /, l'expression

représente toujours une unité du corps

c\Z — em).

Si le nombre m contient plusieurs facteurs premiers et si g est premier à m,

l'expression

représente toujours une unité clans le corps défini par l=^é~"> .

Démonstration. — La première partie de ce théorème 126 a déjà été établie dans les démonstrations des théorèmes 117 et 120. Pour. démontrer la seconde, posons m = 11 ■/*-- /;•..., et

où n esl un entier premier à /, et b un entier premier à /2, /3 On a

(36) 1 — lg=i— e^= î — e^ïe'l»**-.

Or, on a

le produit étant étendu à x:=o, r, 2 ZJ< — 1, ou

(37) II

- 3 "/ — rm

le produit étant étendu seulement à j/ = 1,2 /*■ — 1 .

Distinguons maintenant deux cas, suivant qu'il y a dans m deux facteurs premiers /, /,. .... ou davantage : Dans le premier cas, le second membre de (37) est une unité d'après la première partie du théorème 126. Dans le second cas, nous pouvons

admettre que le théerème îali ait été démontré pour les corps c\em'), dont le nombre m' a moins de facteurs premiers que m. Le théorème s'applique donc au

corps formé des racines — èmes de l'unité. Par suite, le numérateur et le dénomina-

leur de la fraction du second nombre de (37) sont des unités. L'expression (36) esl un facteur du produit du premier membre de (3y). et, par conséquent, dans ions les cas, c'est une unité. C. q. f. d.

Une unité quelconque du corps circulaire c\ e m ) est le produit d'une racine de l'unité ei d'une unité réelle. La racine de l'unité n'appartient pas toujours au

corps c\e™), mais peut, si m contient plusieurs facteurs premiers différents, être, dairs le ras de m pair, une racine 2/»""'* de l'unité, et, dans le cas de m impair, une racine '|/"""'"- [Kronecker '.] On a en particulier le théorème suivant déjà trouvé par

kimnin 1

THEORIE liES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. I.i.i

Théorème 127. — l étanl un nombre premier impair, 'si l'on considère, dans le

corps c(Ç) défini par £ = e ' , Le sous-corps <■•'!— Z ) de degré - - défini pai

E+'Ç- '• un système quelconque d'unités fondamentales de ce corps réel < .' . 1 est m même temps système d'unités fondamentales de c(Ç).

Démonstration. — ni) étant une 11 ni le quelo mque de cfC), — '—- en esl une autre,

ayant ainsi que ses ci mjuguées pour valeur absolue 1, etc'esl par suite, d'après le théorème A8, une racine de l'unité; posons , = -I- Z~'J t ' i , où '/ esl un entier. L'unité r((ï) = ï(v)!T~'' possède alors la propriété

Dans celle formule (38), le signe + esl seul possible. Vulrenienl y(Ç) sérail une unité purement imaginaire ; alors, posons r* = S , où S esl une unité du sous-corps réel c(Ç+ w-'). La différente relative du nombre r, = y 2 j par rapporl au sous-corps réel c(Ç+ l-') est 27|. et, par suile. première à /. Par suilc, la différente relative du corps n'') par rapport à c{". + '1 ' 1 devrait être première à /. <)r. si I* désigne un facteur idéal premier quelconque de /dans le corps réel c(Ç 4- Ç-1), cet idéal ne serait donc pas, d'après le théorème 93, égal au carré d'un idéal premier du corps c(ç).

Mais comme I* entre au plus à la puissance . dans /, celle dernière conséquence

serait contraire au théorème 1 17 sur la décomposition du nombre /dans c(Z)\ donc,

le second membre de (38) a bien le signe -|- . De r,(X) = ^(Ç-1) suit que yi.'i esl réel.

Les unités données au théorème 126 smil imaginaire--.

Pour en obtenir de réelles, formons, suivant que m est une puissance d'un m un lue premier, ou contient plusieurs l'acleurs premiers différents, les expressions

/(■i-Z'Xi-Z-*) \ (1— Z)0 — Z~V

où g est premier à m et où les y son! pris avec le signe + . Ces unités s'appelléronl simplement uni/ex circulaires. Connue r — Z~" = — Z~9(i — Z~"), on recbnnaîl que, dans le premier cas, ces unités appartiennent au corps c(Z) lui-même, tandis que. dans le second, ce si ml des produits d'unités du corps c(Z) par des racines ■>. ni"""' ou \ m"'"** de l'unité, suivant que m est pair ou impair.

(!) N. T. — Un peut prendre un exposant pair, car on peut ajouter à l'exposant un multiple quelconque de /, qui esl impair.

l54 "• HILBERT.