CHAPITRE XXIII

Propriétés du corps circulaire comme corps abélien.

S 99. — Le groupe du coups circulaire des racines mUme" de l'usité.

Le corps circulaire des racines ni"'"1' de l'unité est toujours abélien el l'on a les théorèmes plus spéciaux ci-après.

Théorème 128. — ? étant premier impair, le corps circulaire défini par Z — f''' csl un corps cyclique.

Le corps circulaire défini par Z = c-'m/i ^ 2) csl composé du corps quadratique

imaginaire ci h cl du corps réel c\e*h + e -"'/. Ce corps réel est cyclique de degré a*-1.

Démons! ration. — La première partie du théorème 128 résulte de l'introduction di' la substitution n = iZ '. Zr)> où /' csl une racine primitive, mod /''. 11 est alors évidenl que toutes les substitutions du groupe de i-(Z^ sont des puissances de s.

Pour démontrer la deuxième partie'C), considérons les substitutions :

*= (Z : Z •"•' = 1 Z : Z-1) = a : —ii .

Il en résulte aisément que les puissances de s et leurs produits par s' représentent toutes les substitutions du corps c(Z)-

Le théorème 128 conduit immédiatement au groupe d'un corps circulaire des racines /11""1'5 de l'unité, /// étant composé.

La détermination îles corps de décomposition , d'inertie et de ramification pour

un idéal premier donné de c'e ><> ) peut se faire facilement avec l'aide des théorèmes

déi très paragraphes 95. 96 et 97. sur la décomposition d'un nombre premier dans

un corps circulaire. On obtient ainsi en particulier ce résultat :

Théorème 129. — /étant premier impair, dans le corps circulaire ci Z ' des l •'"'"' racines de l'unité, l'idéal premier y = 1 1 — Z) contenu dans / a pour corps de ramification le corps c(Z) lui-même, el l'ensemble des nombres rationnels est à la fois corps de décomposition et corps d'inertie. $> étant un idéal premier de degré /'de c(Z). différent de V. c(Z) f,sl le corps d'inertie, et le corps de décomposition de Sp est le

sous-corps de degré e = ; correspondait aux substitutions

s désignant une substitution Z ! Z' dont les puissances engendrent cômplètemenl le groupe de c(Z).

1 ' 1 N. T. — Il q 'existe pas en effel de racines primitives, mod 2 +1, pour A ^-2.

fHEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 100

§ ioo. — Gkmîhai.is vtiiin. — Théouème fondamental si b les corps vbéliens.

Généralisons maintenant la notion de corps circulaire; désignons sous le nom de

corps circulaire tout courl non seulemenl tout corps c\e m ) défini par des racines de

l'unité d'indice m quelconque, mais aussi d'importé quel sous-corps du corps c\e m i.

dm ii nie le corps c\e ™ ' est toujours abélien, el que m el m' étanl des exposants quelconques, le corps des racines m """s et celui des racines m'iimes de l'un il/' sonl tous les deux drs sous-corps du corps des racines m.m'iei,ei, on a pour les corps circulaires plus généraux qu'on vient de définir les propositions suivantes :

Théorème i3o. -- Tout corps circulaire esl abélien. Toul sous-corps d'un corps circulaire est 1 1 1 1- corps circulaire. Toul corps composé de corps circulaires esl aussi circulaire :

Voici maintenant une proposition fondamentale qui fournit la réciproque de la première partiedu théorème précédent.

Théorème i3i. — Tout corps abélien dans le domaine de rationalité des nombres rationnels esl un corps circulaire. [Kronecker*' l3, Weber1, Hilberl . ]

Pour nous préparer à démontrer ce théorème fondamental, rappelons-nous que, d'après le théorème 18, tout corps abélien se compose de corps cycliques donl 1rs degrés sont des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers. Nous construisons alors les corps cycliques particuliers suivants. Soil " un nombre premier impair et n1' une de ses puissances d'exposant positif; alors le corps déterminé

par e"'^ est un corps cyclique de degré u'in — 1 I. Désignons par t ,, le sous-corps

cyclique de degré u1' de ce corps. Le nombre e- """ + e-' détermine un corps cyclique réel de degré 2''. Soit II,, ce dernier corps. Enfin, suit /'' une puissance d'un nombre premier quelconque / (égal à a ou non) et soit, en outre, p(') un nombre

premier = 1. mod /' : alors le corps circulaire c\e '' ) de degré /; — 1 a évidemment un sous-corps cyclique de degré /". Soil \\t ce corps cyclique de degré /''. Les corps U,,, II,,. P,: sont des corps circulaires de degrés u" . 2". /" ; les discriminants de ces corps sont, vu les théorèmes 3g et lai, des puissances de u, de a el de/) respectivement.

Nous montrerons dans les paragraphes suivants que toul corps abélien est un sous-corps d'un corps composé de c(i) et de corps appropriés l h, 1 1,, , 1',,. Il faut pour cela une série de considérations auxiliaires.

(') Voir la dernière remarque, £ 97.

1». IIII.HKRÏ.

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