LEMME OÉXÉUAL SI K LES COUPS CYCLIQUES

Lemme i5. — Si un corps cyclique Cj de degré /'' (/ étanl premier quelconque = 2 ,,n = -, , m- contient |>as comme sous-corps le corps correspondant L", ou 11,. on

obtient, en composant C„ avec le corps e(Z) déterminé par Z = ei", un corps c Z CJ de degré f:"~'(l — i). et il y a toujours dans c\ Z i lin nombre y. ayant les propriétés suivantes : le corps c(Z. C„i est aussi déterminé par les nombres J. et \//.: si r est un entier quelconque non divisible par /. et ,ç = ('Z ; Z'K la substitution correspondante du corps cl Z l> **~r psl ,a '*i""" puissance d'un nombre de c(Z)-

Démonstration. — L'assertion relative au degré du corps c(Z. C„) est une conséquence immédiate de ce que c(Z) et C„ n'uni aucun sous-corps commun en dehors du corps des nombres rationnels. Soit alors y. un nombre générateur du corps C4, tel qu'aucune de ses puissances ne soit contenue dans un sous-corpsde C,,: soit, de plus. / une substitution qui, avec ses puissances, engendre le groupe C„. Posons, a et b étanl des exposants quelconques,

k (-,.". Z*) = z"+ Z" .{t%f+ V" .(/*«)' + ..• +Z,"-'"'-(r"-';Oa.

Les expressions kiy, Z). &(**> Z' Ku'*,F Z) ne peuvent s'annuler ensemble,

cai autrement, comme ku", Z.) = o. le déterminant suivant

devrait égalemenl s'annuler, et, vu la remarque du paragraphe 3, le nombre y ne serait pas un nombre générateur du corps C„. Soit y." = y." une puissance de a , pour laquelle k = k(y.', Z»- Soit=|=o. Comme k(/y.*. Z*)= Z~'K-(**> Z*). '! pn résulte que le n lire k'" et aussi tous les nombres- ^ — sont des nombres du corps c(Z).

( lomme on a

k,v*. Z) + k(-AZ'! + ... + ku«. Z'")]

cl que -/ esl un nombre générateur du corps Ch, nous \oxrns que le corps défini par k el 1 '!(• degré au plus égal à P"—(l — i l. contient le corps c(Z, CJ de degré

fh~\l -n; le premier corps el le dernier sont donc identiques et le nombre y. = K possède la propriété indiquée dans le lemme i">.

Faisons encore la remarque suivante. Le corps détermine par Z et V7- esl- °" ''' voil aisément, cyclique relatif de degré relatif l" vis-à-vis de c(Z). el possède, par

suite, un seul sous-corps, qui ri m li ci il c(Z) et qui csl cyclique relatif de degré /vis à-vis de c(Z)- Si alors C, désigne le sous-corps de degré / de Clt, le corps formé d c(Z) et C, doit être identique avec le corps formé de Z et \/v..

§ 102. — Si'» CERTAINS FACTEURS PREMIERS Dl DISCRIMINANT HIV CORPS CYCLIQU]