DE DEGRÉ

Lemme i(i. — Si Ch esl un corps cyclique de degré l , /étant premier quelconque (=2 ou =|= 2 ), cl si Cj csl le sous-coi -ps de degré / de C/( , les facteurs premiers/) différents de / du discriminanl de C, sont tpujours = i . mod /'' .

Démonstration. — Considérons d'abord le cas où ? est premier impair et où h = i. et supposons que . contrairemen'l au théorème, le discriminant de C( contienne un

facteur premier p =|e i mod /. Soit '-' = <' ' . r un nombre primitif mod /, et prenons dans le groupe du corps c(Ç) la substitution s — (Ç ; ".' ). Si \> csl un facteur idéal premier de p dans le corps c(Ç), il est, \n le théorème 119, comme p=|=) mod /, d'un degré /> 1 ; donc, vu le théorème 129, ledegré e du corps de décomposition de l'idéal premier p est <; / — 1 ; les autres facteurs premiers de p sont alors

p' = sp p,*'-,) = se-'p.

tandis que sep = p. c'est à-dire

On a de même, pour les idéaux premiers conjugués de p : p' < p" > etc., les égalités

correspondantes

D'après le lemme i5, il y a dans c(L') un entier a. Ici que les deux nombres '.' et y/-/, engendrent le corps c(Ç, C,i composé de c(Ç) et de C,, et que y."-'' csl égal à la /"'""' puissance d'un nombre de c(Ç). Comme s — ;• et se — 1 sont deux polynômes entiers a coefficients entiers en s. qui n'ont mod / aucun fadeur commun, il existe trois polynômes entiers à coefficients entiers z(s), •!($), y(s), tels que

1 = U<- — i)»(«) + (s — r)J (s) + //». et de là résulte

•/. = •/,(s''-f)?(s) + (s-r).i(s)-W/>-) = y(se-l)?(s) a/;

où a est un nombre de c(Ç). \ u les égalités (3g) cl (4o), a*e i esl un nombre entier ou fractionnaire, tel que le numérateur et le dénominateur ne contiennent aucun facteur premier p, p' et sont, par suile, premiers à /) : il en est donc de même de

y(,''-ii;M j\ous posons vJ"'~ ,,?w =—[, de façon que p soit un entier de c(Ç) premier à p

et a un entier rationnel. Le corps c{'Ç, C,) est alors aussi engendré par les deux nombres Cet y p. Le discriminant relatif du nombre \/p, par rapport à c(Q, est + /V-' ; et comme p est premier à p, le discriminant relatif de c(Ç, CJ, par rapport à c(Q, est aussi première p. Comme, d'autre part, le discriminant de c(Ç) n'est pas non plus divisible par p, le discriminant de c('l, C,) est, vu le théorème 3g, premier à p, et par suite aussi (théorème 85) le discriminant du corps C,, contrairement à notre hx pothèse.

l étant encore impair, soit fe>i. Soit Z = t'!''. r un nombre primitif mod /''.et soit, dans le corps c(Z)> la substitution* = (Z 1 Z0- Soit P "" facteur premier =\=l dij discriminant de C, et y un facteur idéal premier de p dans r(Z).

Si nous supposons p = i mod /, mais e|e i mod/'', l'idéal premier y appartient toujours au sous-corps c(Z') du corps c(Z). c'est-à-dire que

et de même pour les conjugués

Comme /• est nombre primitif mod /'', /■' "-,ie|ei mod /'', et on peut, par suite, déterminer trois polynômes à coefficients entiers cs(s), •-'(.?), /(*), tels que

on en déduit, y. étant déterminé comme au lemme iô,

où a est un nombre de c(Z)- Vu les propriétés déjà démontrées des idéaux premiers y. y', y" y."' " *' — * , et, par suite, y.'*' K-D— 1)?(«) g0n| (|rs uombres dont le numérateur et le dénominateur sont premiers à p. Nous pouvons donc mettre le dernier nombre sous la forme -^, de façon que p soit un entier de c(Z) premier à p el a

un entier rationnel. Alors y ■/.==- yp, d'où on lire s = ;''' ', jetant aussi dans c(Z).

Comme le corps c(Z- v-/.) es', ainsi (pion l'a remarqué à la fin du paragraphe ioi, identique au corps composé de r(Z) et de C, et que le discriminant relatif du nombre (/; vis-à-vis de c(Z) a la valeur -+- l'a'-' première à p, le discriminant relatif du corps c(Zi C,) vis-à-vis de c(Z) esl premier h'p. D'autre part, le discriminant de c(Z) n'est ]ias davantage divisible parp, et il en est donc de même du discriminanl de c(Z, CJ et par suite aussi de celui du corps C,. Mais ceci est contraire à noire hypothèse.

Pour le cas de /=.■?. supposons d'abord // = a et appliquons alors le lemme i5

au corps cyclique Ct du quatrième degré, l'osons z = & - =i et considérons la substitution de c(Z) s' = (i, — /). Soit G. le sous-corps quadratique de C el supposons

qu'il \ • iiii dans le dise ri minant de C, un facteur premier p impair =|= i, mod k- Vu la dernière propriété, p est indécomposable dans c(i). Si le nombre /. du lemme i5 esl divisible paro, posons p=^a*"l. Gomme d'autre part, d'après le lemme i5, on doîl avoir y,',+i = a*, y. étant dans nn. il en résulte y.* = p— 'a*, c'est-à-dire \ /.= /\ s '.

Donc ; esl le carré d'un nombre de c(i); nous pouvons poser p. = — de façon que z soit un entier de c(i) premier à p el a un entier rationnel. Comme le corps c{i CJ coïncide avec c(t, y~) ''' fluc- d'autre part, le discriminant relatif du nombre y- \is-à-\ is de c(t) est premier à p, le discriminant relatif du corps c(i, CJ vis-à-vis de C(î) est aussi premier à p; d'où il suit que le discriminant de C, n'esl pas divisible par p. contrairement à l'hypothèse.

Si, / étanl égal à 2, h est > 2. posons Z=c* ■ Supposons que le discriminant

de C, contienne un l'acteur premierp = 1 mod [\ et =|= 1 mod ■>," . el soil \> un facteur

... ,'1-3 premier idéal de /* dans c(.Z): P lesterait invariant dans une substitution S, , "il St

,"-< ft-3 ,

est soit (Z : Z"). s°'1 (Z '. Z~°); on aurait donc p<* =i.Comme(±5) ;|Eimod2 , on aurait, comme plus haut, une égalité de la forme

2*-*=(sf-a— 1 |?(0 + (. S, =)=■")) -il. s- „) -f a"/.'*.'-

d'où l'on tirerait une conclusion contraire à l'hypothèse quep divise le discriminant de C, .

Le lemme i(i est ainsi complètement démontré et l'on en déduil sans difficulté la nouvelle proposition

Lemme 17. — Soit Cn un corps cyclique de degré f (I premier = 2 ou r|= 2); suit C( le sons-corps du /' ""' degré de C„ ; soil p un facteur premier différenl de / du discriminant du corps C, : on peut toujours trouver un corps abélien i '.',,■ de degn lh'~^lh ayant les deux propriétés suivantes :

1" Le corps composé de C',,- et d'un certain corps circulaire contient CA comme sous-corps ;

2" Le discriminant du corps C'A> ne contient que des facteurs premiers du discriminant du corps C,, sauf le facteur p.

Démonstration. — D'après le lemme ili. le nombre premiei p est = 1 . mod l ; construisons d'après le paragraphe 100 le corps circulaire cyclique P;, de degré /', dont le discriminant est une puissance de p. et formons le corps composé de C, el P„ dont le degré est /*"*"*'. Dans I\, on a p = p'h. où p est un idéal premier de P„. Soil >T> mi idéal premier facteur de p dans c(CA, P,,). Comme l'idéal premier <J> ne divise pas le degré /'' "' du corps nlv P,(), ce corps est le corps de ramification de l'idéal premier %» et par suite, vu le théorème 81, il est relatif cyclique et de degré relatif au moins égal à /" par rapport au corps d'inertie C',,- de l'idéal premier *V

IÔO D. HILBERT.

Cominc d'ailleurs il ne peut y avoir dan-. c(C„, l1,,) de corps cycliques relatifs de degré supérieur à /''. c(Cà, PA) est donc exactement de degré /'' par rapporl à C'ft». Donc, le corps < ', esl de degré /'''. La différente du corps d'inertie C'u- n'est pas divisible' par %V (théorème 76) et par suite, eu égard au théorème f>8, le discriminant du corps < ',, n'est pas divisible par/*. D'un autre côté, ce discriminant n'a d'autres facteurs premiers 1 théorème 3ç)) que ceux qui divisent le discriminant de G4. Enfin, il résulte du théorème 87 que le corps composé de C.'h. et P,, coïncide avec c(CA, PA). Le corps C\ possède dune les propriétés énoncées dans le lemme 17.

S io3. -- Le coups cyclique de degré u . dont le discriminant ne CONTIENT QUE h,

ET LES COUPS CYCLIOI ES DE DEGRÉ (('' ET 2'' QUI CONTIENNENT U, ET II, COMME SOI S- CORPS.

Lemme 18. — Si le discriminant d'un corps cyclique C, de degré premier impair u ne contient que u, C, coïncide avec U, .

Si-n

Démonstration. — Nous posons ^ = e« et s="(Ç;Çr), r étant racine primitive mod u; /.= i — L', et 1 = 0.) idéal premier de c(L'), u= l"-'; enfin

si = i — r ==/■>. . (i!).

Puis considérons le nombre y. du lemme i5. Comme l'idéal premier 1 de ri.'i est du premier degré, il en résulte, si l'on pose p = y.(*l""0. vu l'égalité «1 = 1 et le théorème 24, la congruence p=i, mod 1. (Si l'on a dan-, un corps c un idéal j et deux nombres fractionnaires x, [i, la congruence x=p, mod j, doit s'entendre en ce sens qu'il y a dans c un nombre ;j. premier à j pour lequel ;;•/. jx,8 sont des entiers de c tels que \}.x=\>.$, mod (j)). Comme /• — i est premier à u, le corps composé de C, et ci . I sera aussi engendré par ',' et \'p. En posant p=i -f- «'• mod 1\ où a est un entier rationnel, on an= z'1" = i. mod 1".

Démontrons maintenant que l'on a g=j, mod l". Pour cela, supposons que s=i + ak", mod Ie ', l'exposant celant <« cl « un entier rationnel non divisible par il.

\i>iis remarquons que, d'après le théorème t."). '. e\ par suite aussi s"~'. est la u""" puissance d'un nombre de c(Ç) : soil s~r— 'f . Celle égalité donne la congruence i -f a(rl)° — ar\e = p", mod l' '. De là résulte d'abord f$ = i, mod I. et ensuite p"==i, mod l". < »u aurait enfin nr"^ar. mod 1. ce qui est impossible, puisque ;• doil être racine primitive, mod a, el quee>i. Par conséquent, on a bien ?=i, mod I".

Posons mai nienant z = „,„,■. t étant un entier de c(Ç) et a un entier rationnel : abus on a -. = 1, mod l". Si nous supposons alors le corps C, distinct du corps l , . on

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQ1 ES. 1 fi 1

obtient en composant les corps ç(Ç), I , el C, Le corps c(\/Ç. \A) de degré ur(u— i). D'autre part, \ = r— est, comme le montre l'équation — — = o. un

entier du corps c(\/*. {/-). et le discriminanl relatif de ce nombre vis à-vis de c(\/w) est éi,ral à et"-1, = étanl une unité. Comme -. est premier à u. le discriminanl relatif du corps c(\/?. \'A) vis-à-vis du corps c(\/0 esl aussi premier à a. Désignons donc par ï un facteur premier idéal de I dans le corps c(y£ . \/-)- Xl1 •<• théorème g3, fi aura dans ce corps un corps d'inertie I qui sera de degré u . Le discriminanl de ce corps d'inertie I est premier à u et, vu le théorème 85, devrai! alors avoir la valeur + i ou — t. Mais il n'y a pas de corps cyclique de degré premier n el de discriminant ±i; cela résulte soit immédiatement du théorème \\. soil du théorème al\, en prenant pour le corps c de ce théorème le corps des nombres rationnels, corps dans lequel tous les idéaux sont îles idéaux principaux. Le lemme [8 esl donc démontré.

Lemme 19. — Si un corps cyclique Ch de degré /''. où / est un nombre premier impair ou esl égal à 2, contient le corps U, ou le corps 1 1, comme sous-corps, C, e>t un sous-corps d'un corps composé de l ,, ou de 1I„ avec un corps cyclique C'k- de degré /'"</".

Démonstration. — Soit CA=|=Uft ou II,,. Soit Lfl- le plus grand sous-corps contenu dans Ch en même temps que dans l, ou dans I \h : soil /''' le degré de lv . h' étant un nombre positif < /î . Soit t une substitution qui, jointe à ses puissances, engendre le groupe du corps C„, et r une substitution engendrant de même le corps U„ ou le corps IIA. Si nous posons /*=/'' et z* = z' , /* et c* engendrent les sous-groupes de degré /''"'''auxquels L,,- appartient comme sous-corps, d'une pari de Cft, d'autre part de U„ ou de II„. Le corps C composé de C„ et de UA ou II„ a, \is-a\i- de I.,;. un degré relatif rJ'~''1' et a donc un degré principal Fh~h'.

Pour obtenir le groupe G du corps C, désignons par 3 un nombre générateur de C„ et par y un nombre générateur du corps U4 ou II,,, et soient x, y des paramètres indéterminés. L'expression (-) = x s -+- yy vérifie une équation de degré t h', donl les coefficients sont des polynômes à coefficients entiers en .r, y. et qui est irréductible dans le domaine de rationalité de ces paramètres. Les diverses racines de celle équation sont de la forme

Comme, d'après un théorème connu. 3 ainsi que y s'expriment rationnellement en 0 avec des coefficients polynômes à coefficients entiers en x, y, il en est de même des racines <-),„„: nous posons donc

8 = .cr^y:"y = «I> (0),

■I' étant une telle fonction rationnelle. Soit maintenant A un nombre quelconque de C ou une fonction rationnelle de x, y à coefficients dans C: alors \ est égala une fonction rationnelle K(0) à coefficients polynômes entiers en x, y. Les conjugués de A s'expriment ainsi :

Sffl„A = F(* (6)),

et le système des l"~ '" substitutions correspondantes Smn formera le groupe G du corps C. Vu

S„6 = «S S + vS,„„v = xfa + yz"y ,

on a

^™»J — < J ' °mtTi

d'où résulte

en convenant que l'on aura Sm„ = SmV, si m = m* et n = n", mod /'. De (4i) résulte que le groupe G est permutable, c'est-à-dire que le corps C est un corps abélien. Soil ;• une racine primitive, mod /*; comme zry est un des conjugués de y, il doit

y avoir une substitution de (1 pour laquelle n soit = r, d /''. Soit Smi . = .« une telle

substitution. Le degré du groupe cyclique engendré par * est /'''. On reconnaît aisément que toutes les substitutions du groupe G dont le second indice est =o mod /* forment un sous-groupe de degré lh~h'. Soit s* = Sm-t une substitution génératrice de ce groupe cyclique. Le groupe G résulte alors évidemment de la composition des /' puissances de s et des l''~''' puissances de s*. Au sous-groupe des puissances de s* correspond évidemment dans le corps C le sous-corps cyclique UA ou II,,. Au groupe engendré pars correspond dans C un certain sous-corps cyclique C',; de degré lh~h'. Les deux corps UA ou II, et C'h' n'ont pas de sous-corps commun en dehors du corps des nombres rationnels et le corps C résulte par suite de la composition de ces deux corps cycliques. Ce qui démontre le lemme 19.

>i io/|. — Démonstration di théorème fondamental sur les corps abéliens.

On a déjà montré (§ 48) que tout corps abélien est composé de corps cycliques dont les degrés sont des nombres premiers ou puissances de nombres premiers; il n'y, à donc plus qu'à montrer que tout corps cyclique C,, de degré /'', /étant premier, est un ci irps circulaire.

Pour le démontrer, supposons la proposition déjà établie pour les corps abéliens de degré /'"</".

Kn\ isageons alors le sous-corps C, de degré / contenu dans (],(. Si nous supposons que le discriminanl de C, contient un facteur premier p différent de /, le discriini-

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES Al.i.l '.min H ES. I II.)

nant de ('.,, esl aussi divisible par p (théorème 3g). Il existe « i < - plus (lemme 17 un corps abélien G'^ de degré ('' ^t, tel que (!,, est composé de C\ el du corps circulaire 9h. Si donc C'j' est un corps cyclique de degré inférieur à / ou s'il esl composé de plusieurs corps cycliques. C'ft' est donc un corps circulaire, vu nuire hypothèsi . 1 1 il en est donc de même de Ch. Reste seulement à examiner le cas de h' = h , ( Yk 1 étant Sfcbrs un corps cyclique de degré lh. Comme l'indique le même lemme 17. le discriminant dé ('.,/ ne contient que des facteurs premiers du discriminant de C . mais non le facteurp; lé discriminant de ('.,/ a donc au moins un facteur premier de moins que celui de Ch.

Désignons par C,' le sous-corps de degré / de CA'. Alors, si le discriminant «le C, contient encore un facteur premier p' différent de /. nous pouvons faire pour le corps C,,' la même réduction que pour le corps Ct el m>u> arriverons, soit à conclure que CJ esl un corps circulaire, soit à un corps cyclique C/ de degré /'. dont le discriminant ci m lient un facteur premier de moins (p') que celui de Ch'. Après avoir appliqué m fois de suite le même procédé, ou bien nous arriverons à un corps Cj?m| qui sera circulaire, en vertu de notre hypothèse, ou à un corps cyclique Cl de degré /'. tel que le sous-corps C,"" de degré / contenu contenu dans C)'t" aura un discriminant sans facteurs premiers ou n'ayant que le facteur /. Comme (voir lemme 18) un corps cyclique de degré /ne peut avoir un discriminant + 1, c'est nécessairement le -en nul cas qui se présente.

Distinguons alors le cas de / impair et celui de /= 2.

Dans le premier cas, C"' coïncide avec U, (lemme 18). Dans le second cas /= :>., si /; = 1 le corps C,, =C1 est égal soit à n/i. -oit à ('(y2j=Il,. c'est-à-dire esl circulaire. Pour /; > 1. on a encore C, égal à ('(y/2) = 11,. En effet, >i <„ esl réel, C" l'est évidemment aussi, d'où la conclusion. Si CK" est imaginaire, tmis ses nombres réels forment un sous-corps réel de degré 2''"', et comme C1"'1 esl nécessairement contenu dans ce corps réel, C.'"' est encore réel et coïncide avec II,.

Dans les deux cas ainsi séparés (en dehors de 1=2, h=i). le corps ('."" = 1", mi II,. D'après le lemme 19, fil,"" est donc sous-corps d'un corps composé île l , qu II,, et d'un corps cyclique C,,- de degré /'''</'. Or. vu notre supposition, C4- est alors circulaire. Le théorème i3i est donc complètement démontré et l'on voit, de plus, le moyen de construire tous les corps abéliens de groupe et de discriminant donné.

l(>4 D. IlILBERT.