DÉFINITION ET EXISTENCE DE LA BASE NORMALE

Une base d'un corps abélien C sera dite normale lorsqu'elle se composera d'un entier N de C et de ses conjugués Y, \" \(«~'i ("\j étant le degré île C).

Lemme 20. — Si un corps abélien C possède une liase normale, il en est de même de tonl sous-corps c de G.

Démonstration. — M étanl le degré de C, soient tt, .... /M les substitutions de ce corps abélien; soit \ un entier de C formant avec ses conjugués une base normale de C. Si lt tr forment alors le sous-groupe de ce groupe de M substitutions.

auquel appartient le sous-corps c de C, on peut trouver m = — substitutions t\

t'm de la série / /„ telles que ces M substitutions peuvent, à l'ordre près, se

représenter par les produits

','', *.%; tt't„ ...,tt'tr-, /,;,/ /,;,/,.;

y étant un entier de c et par suite aussi de C. on a une égalité

* = ",,V',N + ... + aj;irN + ■■■ + "„„C',N + ••• +«„„.C/,N.

les a étanl des entiers rationnels. Remarquons que les subtitutionsf,, ..../,. laissent ■/

invariant, el que, d'autre part, il n'y a entre les M = /nr nombres /,'/,N ', ',N.

• •• • C,N aucune relation linéaire à coefficients entiers non tous nuls; il en résulte évidemment

«« = ««=••- = <?,,: ••■ ; "„„ = «„„=•■•=",„,■• floue, en posanl

les /// nombres tt'v /,j,v forment une base normale du corps c.

Théorème i32. — ïoul corps abélien C de degré M, dont le discriminant D est premier à M . possède une base normale.

Démonstration. — Soienl p,p' les facteurs premiers différents de D. Aucun

d'eux ne divise M, et, par suite, vu la démonstration du tbéorème 1 3 1 . le corps abé-

lien C est contenu comme sous-corps dans le corps engendré par les nombres '-' = <■ * .

L'' = c7, cii'., c'est-à-dire par z = ewl'-. D'après le théorème u8, les oombres i.

Z. ... 'Lv~~ mi 1'. '.'■ ".p~' formenl une base de c(Ç); celle dernière est une base

normale de ce corps. De même pour c(ï')

Formons alors le système des (p -in// — i) ..., nombres .''.'"'. uù h, h'

prennenl chacun h m les les valeurs i , a p — i ; r . a // — i ; ... Ce système

de 'Im/)/)' ...) nombres forme (théorème 88) une base de c(Z), qui esl évidemmenl normale. D'après le lemme ao, le corps abélien C a donc aussi une base normale. C. q. f. (1.

S ioC. -- Les coups abéliens de degré premier / et de discriminant // '.

Les corps abéliens les plus simples et les plus importants avec les corps quadratiques sont ceux dont le degré est un nombre premier impair / et donl le discriminant cl ne contient qu'un facteur premier p, ee dernier étant =[=/■ Soitcun Ici corps. D'après le lemme 16, on a nécessairement /; = i mod /. Le nombre premier/) esl dans c la /"'""' puissance d'un idéal premier du premier degré. D'après les remarques du théorème 711 el vu que c est toujours un corps réel, et que. par suite, tfesl positif, on a il = p'~' .

S< > ici) t 1, /. I" , .... /'""' les substitutions du groupe du corps c, el suit v, /v, — l'~'v une base normale de c. iNnir théorème i3a.) Le nombre v est alors toujours un

nombre générateur du corps. Suit '.' = <' ' : l'expression

s'appellera une résolvante (') du corps c = c(v~).

Une telle résolvante Q est évidemment un entier du corps c(v, Q composé de c(v) et c(0-

L'étude des bases normales et des résolvantes du corps abélien c(v) conduit à des conséquences importantes relativement aux idéaux premiers facteurs de p dans nj. Les développements de ce chapitre n'éprouvent que de légers changements, lorsqu'on prend le nombre 2 au lieu du nombre premier impair /.

(i) N. T. — Nous croyons devoir traduire ainsi l'expression 0 Wurzel n ou « Wurzelzahl a employée par M. Hilbert; le mot résolvante est en effet le terme consacré depuis Lagrange. {Réflexions sur la résolution algébrique des éqvations, Mémoires de l'Académie de Berlin,

S 107. — Propriétés caractéristiques des résolvantes.

Théorème i 33. — Étant donné un corps abélien c de degré / et de discriminant d=p'~l, l et p étant deux nombres premiers distincts, soit v, h /'~'v une base

normale de ce corps. Si l'on pose Ç = e~' , l = ( t — Ç), et s = (Ç '. '£'), r étant une racine primitive mod /, la résolvante Q du corps c(v), déduite de cette base normale, a les trois propriétés ci-après :

i" La /"""' puissance de la résolvante (i) = Q' est un nombre du corps circulaire ci .1, et, de plus, tù~r est égal à la /'''"'e puissance d'un nombre de c(Ç).

2° On a les congruences

3° n((ù), norme de w dans c('Ç). est égale à p - .

Démonstration. — Les nombres il' et Qs r sont des nombres de c(Ç, v;) invariants par la substitution (v : //). Ils appartiennent donc à c(Q, d'où la première propriété. Comme v, h /'"'•/ forment une base du corps c(v), on a en particulier

l='V + "Mv + ••••+ ";-/~'v

avec des coefficients a entiers. En effectuant sur celte égalité la substitution / , on voit que « =a =...=al , =f= -+- 1 , car ces coefficients ne peuvent avoir d'autre commun diviseur que ± 1.

Donc, v + /v + ...iï~~*v==± i- D'où

Q=v + 'Ç.lv + ... + L:'"'./'~'v = v + <v + ... + /'-\=± 1, (1).

Puis, coin me tu + 1 = (Q + 0(ï-- + 0 ••■ (Ç^'Q =F 1), on trouve la deuxième propriété du nombre w .

Enfin, en appliquant convenablement la règle de multiplication des déterminants, on a

n(û) = (v + :./v + ... + ï'-.i'-'v) ...(v + :'-./v + ... + ?'-'>•-. /'-yi

esi la norme relative de il par rapporl au corps <■(■)• Le carré du déterminant du

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. i ( '► —

premier membre est « '- 1^ ; < I au discriminant du corps c(v), c'est-à-dire // '. et, par

suite,

Les Imi^ propriétés précédentes de il suffisent inversement à caractériser complètement une telle résolvante. On a en effet la proposition suivante.

Théorème i3'|. — Soii l un nombre premier impairet Ç = e ' . et /* un nombre premier =i mod /: si o> est un nombre du corps circulaire c(Ç), non égal à la /■'""■ puissance d'un nombre de ce corps, et possédant les trois propriétés du théorème 1 33. il = \/w est une résolvante du corps abélien de degré / et de discriminant p'~~ ' .

Démonstration. — Le nombre Q = y «o détermine un corps galoisien relatif de degré relatif / par rapport au corps c(Ç). Suit / la substitution du groupe relatif, pour laquelle tli = Z~'LÏ . Vu la première propriété du nombre to, qui s'exprime par la formule ,s<,> =iora', où a est un nombre de c(Ç), le corps de degré hl — i I, composé de 1 et de Q, est un corps galoisien. Le nombre y. vérifie l'égalité

J—'-r'-' il 1

i — ri— ' .- ..

non-- en déduisons la nouvelle relation

to ' = a

Nous entendrons maintenant par / et s les substitutions déterminées du groupe de ce corps galoisien c(ç, Q), qui. en plus des conditions déjà fixées, remplissent encore les suivantes /",' = 'i et sQ = Qry.. Ces deux substitutions s et i si ml permutables, car on a

. stQ = r'L>'ï = /sQ,

c'est-à-dire que te corps n'.'. Q) est un corps abélien. Le sous-groupe de c{Z, Q), composé des puissances de s, est de degré / — i. Le sous-corps de ci 1. il' correspondant à ce sous-groupe est par suite de degré /: c'est encore un corps abélien, que ni m s désignerons par c .

Démontrons d'abord que le discriminant de ce corps c est premier à /. Comme

QZf. i

Q = :i;i. mod l = (i — Q, le quotient — — — — est un nombre entier. Comme

tù = 'l~~'il, la différente relative de cet entier par rapport au corps c(Ç) a la valeur îQ'-'. = étant une unité, et, par suite, la différente relative du corps c(Ç. Q) par rapport au corps ci Q est première à /. Si y est un idéal premier facteur de 1 dans ci .'. Q . il n'y entre, vu le théorème n3 . qu'à la première puissance, c'est-à-dire que /=fi'-l,3)î. où SOI n'est plus divisible par y. De là résulte, vu les paragraphes 3g