D. II LI5ERT
et 4o, que le corps d'inertie de l'idéal premier M doit être de degré /. et que, par suite, c est lui-même ce corps d'inertie. D'après le théorème 76. la différente du corps c n'est pas divisible par 1. et, par suite 1 théorème 68), le discriminant de c ne l'est pas non plus.
\ous posons
-f- 1 + Q, +- sQ. + s'û + ... + s'-'-Q
où le signe de 1 est le même que dans les congruences 0 = +!, . s.Qs + i,
mod l; le numérateur de cette expression (4i) à forme fractionnaire est donc =0, mod 1. Ce numérateur représente un nombre de c. Si / est idéal premier dans c, ce numérateur doit donc être divisible par /et v est un entier de C. Sinon, comme le discriminant de c ne contient pas le facteur /. on a dans ce corps une décomposition /=(, ... I, de / en / idéaux premiers distincts, et on a alors dans e(Ç, Q), comme le montre le théorème 88, la décomposition
i = (.-r) = (r,i,Mi.g...(i,t,>.
Comme le numérateur de l'expression du second membre dr (^n est divisible par l'idéal (I, 1,), il est donc aussi, comme nombre entier de c, divisible par l{. Il en résulte la divisibilité de ce numérateur par t„, .... I,, et, par suite, finalement par /, de sorte que v est encore un nombre entier du corps.
En se servant de la relation /£> = Z~'Li , on tire de (4i) les deux égalités
En appliquant la règle tic multiplication des déterminants (comme déjà dans la démonstration du théorème i33), on obtient ensuite
d'où résulte, vu la troisième propriété de u (théorème t33), la relation
et . par conséquent,
THÉORIE DES COUPS DE NOMBRES ALGEBRIQI I--. l(ii)
Nous démontrons ensuite que le discriminanl du corps c esl nécessairement égal à p'~' . En effet, c'est, d'après la dernière relation, un diviseur positif de pl '. Comme ce ne peut être i (théorème 'i'i ou théorème 94). il contient (lune le facteurp, et cela à la puissance / — 1, d'après les remarques relatives au théorème 79. De la proposition ainsi démontrée, suit que-/, /•/ t 'v forment une base, évidemment nor-
male, du corps c. El le nombre Q est, vu (4a), la résolvan te du corps c déduite de celle base normale.
S 108. — Décomposition de la l'"" puissance d'lxe résolvante dans le cokps
DES RACINES /"'""' DE l'lMTÉ.
Théorème i35. — /, ji . 1 , r, s ayant leur signification précédente, c(v) étant un corps abélien de degré / de discriminant d = p'~' et Q une résolvante du corps ci . I-, le nombre u = Q1 a dans c(£) la décomposition
lô = p',. r,.w i.-
nu p est un idéal premier déterminé, facteur de p dans c(Ç), el où r ( désigne le plus petit entier positif congru mod / à la puissance — iiia" (r~') de la racine primitive r. [Kummer6, ".]
Démonstration. — Le nombre premier p se décompose dans c(Ç) en / — 1 facteurs
premiers idéaux distincts p , s? s'~~p: le nombre «doit être divisible par chacun
d'eux. Car, d'après la démonstration du théorème i34, la différente relative du corps ci ^ , Q) par rapport au corps ci Ç) est un diviseur de Q' = w; of, si u était premier à p. la différente relative le sérail aussi, ainsi que le discriminanl de c(Ç, û) (théorème 68), ce qui esl impossible, puisqu'il est divisible par le discriminant
de c(v). A cause de rc(co)=p - . p, sp s4- °p sont en même temps les seuls facteurs premiers idéaux de <o . Soil p un de ces idéaux premiers dont l'exposant dans <,, soit le plus petit possible: nous avons alors
w = pv-''. .»-■•■-«,->■ »'"'-,
«„ . ••■• az étant des entiers positifs, dont aucun n'est inférieur à «o. En formant «(oi) on obtient
Comme a0, ..., a, sont t< >u> positifs, ces nombres ne peuvent donc tous être divisibles par /. A cause de la première propriété démontrée théorème 1 33. on a
I yO D. HILUERT.
où ;•. esl un nombre de c(Ç). Comme les idéaux premiers conjugués de p en sont tous distincts el snnt distincts entre eux, le polynôme en s
(s — r) (a0 + ats + . . ..+ ",/~"") ,
une fois développé, et s'~' axant été remplacé par i. doit avoir tous ses coefficients divisibles par /. c'est-à-dire que ce polynôme est =«,js'~' — r), mod /. Donc, a, est=|=o, mod /, el si l'on pose ul i^r'"~' '. mod /. où m désigne l'un des nombres o, i, ...,/ — 2 . on a pour i= o, i / — 2 la congruence
Nous posons d'une façon générale
de façon que o <'"„,,</ et bi étant un entier rationnel ^-o. Comme
'•„, + '•„,, + ... + rm l+i= 1 + 2 + ...+/, = .
on a 60 + />,+ •■• + bl l = o, et, par suite.
//„ = o , bt = o , . . . , bl t = o , c'est-à-dire
ai = rm~f P0Ur ' = 0. 1 1—2.
Parmi les nombres ro, i\ r,,, r0 = 1 est évidemment le plus petit, et
comme a0 doit être le plus pelit de a0. '/, a,t. on a a0= r0= 1, c'esl-à-dire m = o,
et alors a(=r,. C. q. f. d.
§ 109. — Une équivalence relative aux idéaux premiers du premier degré
Dl CORPS DES RACINES /iem,'s DE L* UNITE.
Les développements précédents nous conduisent à une importante propriété des idéaux premiers facteurs d'un nombre premier = 1 , mod l, dans le corps des /'"'" s racines de l'unité.
Théorème i3f>. — Soil / un nombre premier impair. .' = <'' . r un nombre positif racine primitive, mod /. s = (Ç ; l'), p étant alors un idéal premier du premier degré quelconque du corps circulaire c(Ç), on a l'équivalence
où les quantités q : sont les entiers non négatifs définis parles égalités
rr-, — r-,--. ,
>\ . r ! r, ., ont le même sens qu'au théorème i35 et, de plus, r = r,, .
I Ruminer6, ".1
Démonstration. — Donnons à p et à u le même sens que dans Le théorème i33 u)*-r es! alors la /'""' puissance d'un nombre -/ dans c(Ç). En remplaçant <•> |>a i son expression en fonction de p donnée au théorème l35, on a
et cette égalité montre l'exactitude du théorème (36, si nous «mi lirons la décomposition de ?..
(1 étant une classe quelconque d'idéaux du corps c(Ç) el j un idéal de C, si l'on
désigne par sC, s'C SI-*G les classes dé terni i nées par sj , s'j .v'~!j . on tire du
théorème i36 et du théorème 89 la relation
(',V.,(.vr,)7-!|.s--(;)7-' ... (,v'-'!C )?-i+S = 1 .
>i 1 10. — Détermination de toi tes les hases normales et de toi tes les résolï intes.
Les théorèmes i33, i34, 1 35 permettent maintenant de déterminer toutes les résolvantes du corps abélien c(v).
Théorème 137. — il el 11' désignant deux résolvantes distinctes du corps abélien c de dejiié premier / et de discriminant pl~l, mais déduites de la même substitution génératrice / du groupe de w corps, on a toujours Q* = sQ, ; étant une imilé du corps c(Ç) vérifiant la congruence 5^+ 1, mod t = (i — Z). Réciproquement, si ; est une telle unité dans c( 'Q el Q une résolvante quelconque de c, L]* = £ÎT> es! encore une résolvante de ce corps abélien c.
Q« Démonstration. -- Vu les hypothèses de la première partie, le quotient £== —
est un nombre du corps composé de c et de c(Z). qui reste invarianl dons le changement de Z, v en 'Ç, tv et qui appartient par suite an corps c('l). Prenons pour m = Q' l'expression donnée au théorème i35. Si alors s~"p. a étant un des nombres o. 1 , a, .... / — 2, est celui des / — i idéaux premiers conjugués facteurs de p. dans c(Ç) qui n'entre qu'à la première puissance dans (,/ = £}*', on a évidemment , d'après le théorème 1 35,
yr~atr0+r t . «+ - +r,+2 . «' =)
et il en résulte que l'idéal premier p entre dans i,," exactement à la puissance /'„. Le quotient — peut donc se mettre sous la forme d'une fraction dont le numérateur
contient l'idéal premier p à la puissance (r„ — r,), tandis que le dénominateur est
premier à p. Comme, vu — = tl, l'exposant ;■„ — i\ doit être divisible par /, il en
résulte /■„ = /■„, c'est-à-dire a = o. Par suite , e>" et m contiennent les mêmes puissances d'idéaux premiers el ; est donc une unité.
Le-reste du théorème 1^7 ressort immédiatement des théorèmes t33 et i34- De-, résolvantes relatives à /, on déduit aisément, par la formule (4i)> toutes les bases normales v. 1 1 , .... / — \ du corps abélien c .
S ni. — La hase normale et la résolvante de Lagrange.
Suit encore / un nombre premier impair, 'Ç = e> , et /> un nombre premier de la
forme Im + 1; soit Z = eT*et soil H une racine primitive mod />. Enfin, soit <■ le corps abélien de degré / et de discriminant p1 l.
Les /; — 1 nombres Z- Z= Z''~' forment une base normale du corps c(Z); il
résulte alors de la démonstration du lemme 20 que les nombres
\ -z +zn' + zR" +... + z[,,"'-,". /, =zR +zR'"' + zR' " + ... + zR' ■■""-",.
/'"' = zu'~' + Z"3'"' + zR!,!'' + ••• + z"""-'
forment une base normale du corps c. < >n en déduit la résolvante suivante du même corps
= z + -:zR + rz-2 4- ... + r"-^"-2.
Cette base normale particulière X0, À, >.,, s'appellera èase normale de Lagrange
et la résolvante particulière A '•' résolvante de Lagrange.
S lia. — Propriétés caractéristiqi es de la résolvante de Lagrange.
La résolvante de Lagrange A du corps c se distingue îles nulles résolvantes de c par les propriétés suivantes :
Théorème i 38. — Si l'on représente la /' "'" puissance a' de la résolvante de Lagrange, d'après le théorème (35, par la formule
K' — pr« ''-"•s '-'+* •"'"*,
p esl l'idéal premier défini parla formule
théorie d::s corps ou nombres algébriques. iy.'i
les lettres ayant, du reste, le même sens qu'an théorème [35. La résolvante de Lagrange A est = — i iikkI l el de plus sa valeur absolue esl égale à \ /'• Réciproquement, si une résolvante Û a les propriétés précédentes et que de plus Q' contienne l'idéal premier \> exactement à la première puissance, on a Q = '.''A. où "* esl une racine /'""° de l'unité.
Démonstration. — En posant Sp = (i — Z- p)> ou voit, à l'aide de (i — Zi''~' = i/'
el (p, p'J~' i = v- que
il est alors visible que *T> esl idéal premier dans le corps défini par '.' el Z el que le nombre i — Z '"' contienl cet idéal premier qu'à la première puissance.
Posons Z = i + 11 et tenons compte de la congruence '=R~'". mod p. el de l'égalité (i + 11)''= i : "H a
A=ïR-*(i + nf, (p),
= z\x- i:(^)iiv!, G»),
où les sommes respectives doivent être étendues aux valeurs x = o, i . a p — i :
X = i, 2 p — i ; Y = o. i, 2 \ . De la dernière formule on déduit, en changeant l'ordre des sommations :
