I -/j D. IIII.BERT

La seconde partie en esl précisément la réciproque. Son exactitude découle aisément des théorèmes i35 et' 1.37, avec l'aide du théorème 48: on doit pour cela remarquer que, si un nombre d'un corps abélien a la valeur absolue 1, il en est de même de ses conjugués.

Nous pouvons obtenir, d'une façon analogue à (43), les congruences suivantes

[Jacob i :] :

II''-'"'

m s~l^-<hy' (*"~ }

pour (' = 0, 1, 2 / — 2. En nous rappelant que A = — 1 tnod ( et que |A[ = \/p,

nous tirons de ces congruences (44) une autre démonstration des théorèmes i35 et

1 36. [Rummer1, ".]

Tous les théorèmes de ce chapitre XXIV s'appliquent aussi au cas de /=a, sauf

p-' que le discriminant du corps abélien c prend la valeur </ = ( — 1) - /)■

La racine de Lagrange A du corps c est un entier du corps composé de c(Ç) et c,

caractérisé au facteur Ç* près par les propriétés énumérées par les théorèmes i33 et

i38. Pour liver enfin même ce facteur £*, on devrait poser A = \Pe~ • de façon que

o<^a.< 1, et ensuite voir dans lequel des / intervalles

le nombre 9 est placé. Celte question soulève dans le cas particulier de /=2 le célèbre problème de la détermination du signe des sommes de (iauss (voir S 124). Pour / = 3, nous sommes conduits à un problème traité par Rummer. [Rummer'' '.] Les numbies de la base normale de Lagrange sont ordinairement appelés périodes. La bibliographie indique une série de travaux relatifs à ces périodes, ainsi qu'à des nombres entiers analogues de corps circulaires. [Kummer3,17, Fuebs'-', Schwering1' V. Kronecker17, Smith '.] On y trouve aussi des recherches sur des corps circulaires particuliers. [Berkenbusch ', Eisenstein ,0, Schwering-'. Weber '■-■'. Wolfskehl1.] Mentionnons aussi que, si le nombre premier / est < 100 et dp 29 ou de '1 1 , le corps circulaire c('Q contient toujours une classe d'idéaux dont les puissances fournissent toutes les classes du corps. [Rummer"'13.]

IIIKOIUK DES COUPS DE NOMBRES AI.( .Klilili M ES.