CHAPITRE XXV
Loi de réciprocité pour les résidus de ilèmes puissances entre un nombre rationnel et un nombre du corps des racines iièmes de l'unité.
* 1 [3. — Caractère de puissance d un nombre et symbole — .
Soit /un nombre premier impair, Z = e~r. et c(Ç) le corps circulaire engendré par £; p étanl ensuite un nombre premier, autre que/, et p un des idéaux premiers facteurs de p dans c(Ç), ,/' étant son degré, on a, d'après le théorème a4, pour tout entier * du corps non divisible par v- la congruence
,pT-4
o, ipi.
Comme// — 1 est divisible par /d'après le théorème 119, le premier membre de celte congruence s'écrit
où le produit est étendu aux valeurs k = o, 1, a / — 1. 11 en résulte que la
congruence
pf-i * ' s?, (P)
est vérifiée pour une valeur de fc et une seule.
La racine de l'unité qui y figure, ï\ s'appelle le caractère de puissance du nombre t. pur rapporta l'idéal premier p dans le corps c(£), el on représente cette racine de l'unité Ç* par le symbole
de sorte qu'on a la congruence
fRummer :".l
D. IIILBERT.
-j. H ri étant deux entiers de c(Ç) aOD divisibles par p, on a, on le voit facilement, l'égalité
lp\-(p\(p\-
Si le nombre entier ac est en particulier congru mod p à la /"'""' puissance d'un nombre entier de c(t), on dit que « est résida de puissance !"'""' de l'idéal premier p. ( )n a la proposition :
Théorème i 3g. — p étant un idéal premier différent de ( = (i — Q et 7. un entier de c(Ç) premier à p, la condition nécessaire èl suffisante pour que t. suit résidu de
puissance /'""' de p est , — , = i.
Démonstration. - Si x = ji', mod p. fi étant un nombre de c(0, on a
Pf— ' l 7. i
x i =bi''-'=\, c'est-à-dire — — *• Pour démontrer la réciproque, désignons par
p un nombre primitif mod p et posons a = p\ mod p. Si nous supposons que
m ' =p ' = i, il en resuite — ; = o, mod p — i, c est-a-dire que /; est
divisible par /, et, par suite, t. est un résidu de puissance /"' mod p. ce qu'il fallait
démontrer.
Le caractère de puissance !— > d'un nombre primitif, mod p, est certainement dif-
férent de i. Car dans la série des puissances p, p*, etc., p'1'-1 est la première qui
yr-i soit ^ i, mod p, et, par suite, p ' =[=i, môd p.
Soit — f = Ç9; déterminons un entier rationnel a* premier a p — i. et tel que
(ja* = i , mod /; alors p* = pffa est un nombre primitif, mod p, pour lequel '— \ = Ç. Si alors a est un entier de c(Z) non divisible par p, et si l'on a a = p"', mod p, on a
On conclut aisément de là que le système complet des//'— i nombres incongrus
mod p ; i, p*, p*\ ..., z.*pf~', se décompose en / systèmes partiels, dont chacun ren-
ferme nombres ayant le même caractère de puissance. En particulier, il \ a
exactement résidus de puissance l'e"K incongrus mod p.
Si b est un idéal quelconque de c(t i premier à Ici t. un entier de ce corps premier à b, si l'on pose b = i><t ... u>, p, q. etc., étant des idéaux premiers, on définira le
( a J symbole — par l'egalite
[±\-\±l\±.\ ÏJLi
THEORIE I>i;s CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES.
§ I l'|- — ÙEMME SI II CE CAItACTERE DE 1M [SSAMCE DE LA /"'""' PI ISSANCE DE LA KI.mii \ \\ii
DE L\(. Il \M.E.
Eisenstein est parvenu à découvrir el à démontrer celle loi <le réciprocité qui existe entre un nombre entier rationnel et un nombre quelconque du corps c(Ç)
(£ = e ' , l premier impair). Celle loi de réciprocité est en même temps un auxiliaire, jusqu'ici indispensable, pour la démonstration de la loi de réciprocité plus générale de Ruminer. [Voirchap. xxxi.] Pour démontrer la loi de réciprocité d'Eisenstein, il
faut d'abord le lemme suivant :
Lemmf. ai. — Soit 'Ç = c ' : suit/) un nombre premier de la forme ml ^- i, \{ un nombre primitif mod /*. et p l'idéal premier du premier degré de c(Ç) :
p = (p, r-R-'"); posons Z=<> p • la résolvante de Lagrange A :
a = z + :zK + "zR1 + ... + :/--zR""!
et z = A'- Soit enfin q un nombre premier quelconque différent de /et/>, q un idéal premier facteur de q dans e(t) el de degré g; alors le caractère de puissance du nombre - = a' par rapport à o, s'exprime par la formule
Démonstration. — En élevant g l'ois à la q''' puissance, on a la congruence
(46) a''? = 7? + :«' zR?' + 'i-gl ZRV + ••• + :"•--"'" zKp-!»7 p (g).
En remarquant que (/ = i, mod /, d'après le théorème i ig, et en posant g*= R*, mod p, le second membre de 1 16) devienl
VR'' L ^ 7R' - ' j ■^jRl'^* l .. i y-- 7R'1 ''-2 — ?— *a . D'où résulte, A étant premier à gr, vu le théorème 1 38, la congruence
et on a donc certainement
c'est-à-dire que
D. Il LHERT.
D'autre pari, on tire des congruences 7" = R\ mod p, et R"
relations
mod p, les
gip-'\
(lin P'"« v—h
c'est-à-dire
S 1 1 5. — Démonstration de la loi de réciprocité entre in nombre rationnel
ET IN NOMBRE QUELCONQUE DE C{'i).
Soit l = (i — Ç) l'idéal premier de /dans le corps c(ç). Appelons semi-primaire un entier y. de c(Ç), premier à 1 et congru mod V à un entier rationnel. Un entier rationnel, non divisible par /, est, par suite, toujours semi-primaire. Tout entier a de e('l), non divisible par t. peut toujours être changé en un nombre semi-primaire lorsqu'on le multiplie par une puissance convenable de £. Si, en effet, on a
x = a + 6(i — r), (l3), a et li riant des entiers rationnels, on a
si l'un détermine b' par la congruence i ' i <il~ = b, mod /. Le nombre Ç*ca est par suite semi-primaire.
Cette remarque préliminaire faite, voici l'expression de la loi de réciprocité d'Eisenstein.
Théorème i'io. — « étant un nombre entier rationnel, non divisible par le nombre premier impair /. et v. un entier semi-primaire quelconque premier à a du corps cÇÇ) des racine- /"""" de l'unité, on a dans ce corps
\a l la) | a " J j a \ '
[Eisenstein2.]
(') N. T. — r;A* = 6 mod / et, par suite, mnil {- . On a en effet nlors
v.:'' = a£*' + 6Ç*°(i — Ç) sa^*" + &%'*•>( i — C)] • ( I") = a[i + Ç4« ^ i + bX"% i — Q] = a + a(i — Q ( 6"Ç»" — :'' '
= ". mod 1\
THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 1 Tl)
Démonstration. — Soit r une racine primitive mod / et s = (Ç; ^.'Supposons
d'abord que a soit un nombre premier q et que y. ne contienne que des idéaux premiers du premier degré. Soit q un facteur idéal premier quelconque, de degré g, de q dans c(Ç), suit p un facteur premier de la norme n| x i, el donnons à p et à - le même sens que dans le lemme 21, s" étant alors une puissance quelconque de s, l'application du lemme 21 aux idéaux premiers s~"q et p donne
( s "<| ) \ p Soumettons cette égalité à la substitution s", on a
Soient p=ml+ 1, p* ■=/»*/ + i, etc.. les différents facteurs premiers île n(a); R, R*, .... etc., des racines primitives mod p, p" , ...: enfin, posons
et soit
a. — pPW j>*F»(«)
la décomposition du nombre a. les exposants F(s), F*(.s) ... étant des polynômes de degré / — 2 a coefficients entiers ^o.
A. A*. ••■ désignant les résolvantes de Lagrange relatives aux facteurs premiers p, p*, ■■■ et à leurs racines primitives R, R*, .... en posant r. = /\,'. 7." = A"'. ■■• on a, d'après le théorème 1 38, les décompositions
K — pro "■— 1 • *+*■-» • *2-- ■•• +r-;+s ■ s':.
où r„ représente le plus petit entier positif congru à r~h mod / {r racine primitive mod /).
Le quotient
-•-0-Hr. . ,. r... . •'-!
est par suite, évidemment, une unité du corps c(Q.
Nous allons démontrer que e=±i. Pour cela, formons |e|*
(M'r'fl-Tr'"--
l8o ■>• HU-HKRT.
\ cause de l'égalité, valable pour h = o, i, 2, ..., — ■ — .
le numérateur de la fraction du second membre est égal à
Tenons compte de ce que (théorème i38) on a \r.\'=p', \t*\1=pml alors
U| =+ 1. D'après le théorème 48, e est donc à un facteur + 1 près une puissance de Ç. Connue d'autre part on a, d'après le théoTeme i38,
et que, par suite, z, -*', ... sont tous des nombres semi-primaires, il eu est de même de e; donc e = ±i et il en résulte
Cette égalité donne, vu la formule (4q). la relation de réciprocité
En tenant compte de ce que l'on a puisque ces symboles représentent des puissances de Ç. il résulte de (3o) l'égalité
ce qui démontre le théorème i4o dans le cas particulier où a ne contienl (pie des idéaux du premier degré et où a est un nombre premier.
Pour supprimer la première restriction, supposons maintenant que a. suit un nombre semi-primaire quelconque, premier à q, de c(Q, pouvant contenir des idéaux premiers de degré supérieur au premier. Formons alors le nombre
le produit II riant étendu à tous lés diviseurs de /— 1 différents de / — 1, et posons
j et t riant des idéaux premiers entre ru\ ; ces derniers ne péuvënl contenir, on le
THÉORIE DES COUPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. l8l
voil aisément, que des idéaux premiers du premier degré et, de plus, ae son) pas divisibles par 1 . Si h est le nombre des classes d'idéaux du corps c(Ç), on a, d'après le théorème 5i, t* = (x), y. étant un entier de c(Ç); si nous posons y=6-/.'. y est aussi un entier de c(Ç) n'ayant que des idéaux premiers du premier degré, et, de plus, y est, de même que 7.. semi-primaire et premier à q. De ce qui précède résulte donc
Dans un but de simplification, nous écrirons d'uni' manière générale, p '•! s étant deux entiers de c(Ç) premiers à q,
ce qui est compatible avec les conventions déjà faites: alors, vu 8 = — , on tire
de ."n 1 :
En tenant compte des égalités
»"*/! * r et i^Lïïr
on déduit de 1 5a i que
11,1—r'l llil-i-
Si nous remarquons que l'exposant commun aux deux membres n'est pas divisible
par /, nous en tirons
Admettons enfin que '* premier à /et à x soit quelconque, et que a = qq" — q, </*, ...: étant des nombres premiers, la multiplication des égalités
achève l.i démonstration du théorème lio.
D. HILUKRT.
