II, II

(pour les autres expressions de m, on remplace ut, ((.,, ... par u; a,, u,, ...; ou par u, n'; »,, k,, ... suivant le cas). Le produit II au numérateur de la première fraction doit être étendu à toutes les valeurs données dans (53), pour lesquelles ut + ut+ ..., dans le premier cas, et dans les deux autres cas u + ut + «.,+ •••, est un nombre impair; le produit II au numérateur de la deuxième fraction est étendu à toutes les valeurs (53) pour lesquelles u, + », + •■■ . dans le premier cas, h -j-^-f «, + ••• . dans les deux autres, est un nombre pair, à l'exception de la seule combinaison /(i== ut= ... = o; ou B = ut = u, ... = o; ou u=a*=u1 = ûs=...=o. Chaque somme S de la première fraction est étendue à tous les entiers positifs n= i m — i;

chaque somme S de la seconde fraction seulement à ceux de ces nombres qui (»l

sont<— . Enfin, log A représente la partie réelle du logarithme du nombre du a

corps circulaire

/Il — p. >"

el l'.esi le régulateur du corps circulaire. [K.

uuimei —

Kunimer a appelé les deux fractions qui cdmposenl la seconde expression de II le premier el le second facteur du nombre des classes. Le double du premier facteur et le second sont toujours des nombres entiers. [Kronecker9.]

THLOKIi; DKS CORPS DE NOMBRES AU .1 1JIIK UIS.

\\ eber a démontré, en partant de la seconde expressii m de II . < } 1 1 < ' le i ibrc de

classes du corps circulaire des :>.'' ièmes racines de l'unité esl toujours un nombre impair. [Weber '• :. ]

Celle deuxième expression de II peut encore être transformée. Dans le cas où m= l est un nombre premier impair, un petit calcul(') conduit au théorème suivant :

Théorème i4a. — Si /esl premier impair, le nombre de classes h du corps circulaire des racines I' '"" de l'unité est donné par

Il S ne t-i

lll) [M]

'l chaque si imme 1

Le produit II est étendu aux nombres impairs i, 3, ... I —

aux nombres r= t, a, ... / — i ; de plus, étant donnée une racine primitive r. d /.

n' désigne un nombre tel que r"' = n. mod /: A désigne le déterminant

loge,, ... logs,a

loge,,

log :,,

10gE,3,

loge,-,,

los

où log e9 représente la partie réelle du logarithme de l'unité

X étant égal à e ' . [Kumme

g— rd— i '

". Dedekind1.]

Les deux fractions de celle expression de h proviennent des deux fractions de la forme générale et sont par suite le premier et le second facteur du nombre de classes, dans le sens primitif; dans le cas actuel, ces deux facteurs sont tous les deux entiers.

Le second facteur représente le nombre de classes du sous-corps réel de degré

contenu dans c(Ç). Kunimer a encore établi d'autres théorèmes concernant la divisibilité para de ces facteurs. [Kummer23.] La tentative de Rronecker pour démontrer ces théorèmes par une voie purement arithmétique contienl une cireur, et la généralisation donnée par Kronecker n'est pas exacte. [Rronecker ".] En outre. Kummer a fait des recherches d'un autre ordre sur la signification et les propriétés de ces deux facteurs [Kummer11.] (Voirchap. xxxvi.) Enfin, Kummer a énoncé le théorème que le nombre de classes de tout sous-corps de ci 'i divise le nombre de classes /( de c('Ç). La démonstration qu'il a essayée d'en donner n'est cependant pas inattaquable. [Kummer7.]

(') Voir la noie I à la fin du .Mémoire.

D. IlILIiERT.

S Il8. DÉMONSTRATION DES FORMULES DU NOMBRE DES CLASSES DE fl("»).

Pour démontrer le théorème r4i, prenons le cas le plus compliqué, où m est divisible par 8, et établissons le lemme suivant :

Lemme 22. — /) étant un nombre premier quelconque et m un entier divisible par 8, on a, a\ec les notations du théorème l 'i i , pour les valeurs réelles de s> i. la formule

n i— «(*)-}= ii i

ipi m. a ; lij.Uo,...) (

où le pi'oduil du premier membre est étendu à tous les idéaux premiers facteurs de/>

dans le corps c(£=:e '" ), et où le produit du second membre est étendu à toutes les valeurs (53) [y compris h combinaison tt = «*=BJ = u^=... = t>].

Démonstration. — Soit d'abord y* un nombre premier ne divisant pas m ; soit / un

des nombres premiers impairs lt, /, et f' la puissance de / qui figure dans m :

soit r une racine primitive mod /'et p = r'', niod /''. Si e désigne le plus grand commun diviseur des nombres//' et lh~~ \l — i) et si l'on pose lh~ '(/ — i) = ef, le

symbole —^ est évidemment exactement une/"'"1' racine de l'unité et non une

inférieur'1.

Si nous prenons d'abord l==.ll, et, par suite. h=:hl, e = el, lhl,~i{li — \) = cjt. on a la formule

u. ((*: il .u,.

'—^ Yp-*r4e\

où le produit esl étendu à toutes les valeurs de ut indiquées dans 1 53) (1). Si nous

(') N. T. — C'ésl-à-dire : a, = o, r,..., l^~l (/, — 'i) — i . ( tn a, en effet :

h. u : ut , ((,, donc, en posant pour abréger

reger :

__JP ^

■ il ..

= G, . avec 0(i = i

THliORIE I>l S CDHI'S DE NOMBRES AI.i.l liHInl ES.

prenons ensuite /= /, el k = hi} e = et, I'!,' \l., — i) = ej't . on a, Jn désignai] lie] petit commun multiple de /', et y.,

III,. H,l '

r. — jl^

| u. a' ; ((, . il.,.

ei ainsi de suite. — / désignant le plus petit commun multiple des nombres

e,ea .A,/,.

où le produit est (''tendu à toutes les valeurs (53) de u,, («., ....

Soit de plus p = ±5''', mod ■>.'' : soit e* le plus grand commun diviseur des

nombres p' et :?'' --, et suit ■>./>'-- = i~/"; alors — — est évidemment exactement

égal à une racine/"'"" de l'unité et non à une inférieure. Par suite, si J\. ... désigne le plus petit commun multiple de/*, J\ . J\. ... :

Il i-

H, h : u. . ii

<-,<-2 ■ f Ufi

\-»f VI

Enfin, suit e le plus grand commun diviseur de

et de 2 . et pi 'si m»

2 = 1'/; il résulte alors de la dernière formule, si F désigne le plus petit commun multiple des nombres /,/*,/,,/, , ... et si l'on pose pour abréger

êe"elei:..Jfftfi...

(u, n ; Ki, u2, ...)

U, il': «,. U., ...J'

Si — n-'V\R.

où le produit est étendu à toutes les combinaisons (53) de ;;. u" : ut. u, On voit

de suite que F est le plus petit exposant positif tel que pF = i . mod m . Comme de plus FE = 'Ivn. on déduit de (54), en ayant égard au théorème 125, la formule du lemnie 22 (*), En s'appuyant sur la deuxième partie du théorème 1 •'.">. on reconnaît l'exactitude de-cette formule même dans le cas où p divise m.

I1) X. T. — On a, en effet :

Théorème 1 25

JJi' nW) L' n(*~yj L1 «(*,yJ L1 n(*)B'

D. HIl.liKKT.

L'on voil alors immédiatement l'exactitude de la première expression de H donnée au théorème l 'i i . en s'appuyanl sur le théorème 56, la deuxième expression de js) donnée au paragraphe ■>.- et le lemme 22 qu'un vient de démontrer.

Pour obtenir la deuxième expression de II, nous transformons d'abord de la façon suivante le produit précédé du signe Lim de la première expression :

La transformation de la somme du second membre s'opère ensuite de la façon la [dus simple, si l'on pose

II I (S) Jq

et que l'on procède comme au paragraphe 86(').

S ii(). -- Existence d'une infinité de nombres premiers qui ont pour un nombre

lil INNÉ IN RESTE DONNE PREMIER A CE DERNIER.

Chacune des deux expressions (théorème 1 '1 1 1 du nombre de classes II du corps circulaire des racines conduit à une conséquence importante. La première sert en effet à démontrer le théorème suivant :

Théorème i43. — m et n élan! deux entiers premiers entre eux, il existe toujours une infinité de nombres premiers p vérifiant la congruence p = n. modm. [Dirichlel "•'', Dedekind ' .]

Démonstration. — Considérons encore seulement le cas le plus compliqué, où ;// est divisible par 8, et posons, comme au paragraphe 117. m = 2*" /*</*> .... Chacun des produits considérés

à l'exception de celui qui correspond à la combinaison u=:u*=u1 = ul^...=ol a pour s=i une limite déterminée; de la première expression du nombre de classes M . donnée au paragraphe 1 17, résulte que ces limites sont toutes différentes

(') N. T. -- X . . 1 1 -, donnons <latis la note V, à la lia du Mém i:re, le détail de ces calculs pouf le cas simple où m est un nombre premier impair.

lll.JOlilK DES COUPS DE NOMBRES ALCiJsBRIQUES.

dco; nous pouvons donc prendre les logarithmes de ers produits, et on esl alors conduit par des considérations simples, analogues à celles du paragraphe 80, à ce

résultai, que pour toul système de valeurs», u': ut, u (o partoul exclus), la

somme

où p parcourt toute la série des nombres premiers a une limite finie pour .s' = 1. Comme n est supposé premier à m , tous les symboles

If,

sont différents de o. \mis multiplions l'expression (55) par

et et fêi'te

nous donnons à u, u' ; ut, ut, ... toutes les valeurs (53), la combinaison o partout étant exclue, et nous ajoutons toutes les expressions ainsi formées à la série (a6) (voir S 80). On obtient ainsi l'expression

où l'on a posé pour abréger

P=Ld, P-= W, pt=UJ L^J L^J Ud

Si nous faisons abstraction dans cette série des termes-, en nombre limité, correspondant aux facteurs premiers de m '■•.,1.1 le reste est égal à <I> 1 — , où p

P représente les nombres premiers, tels que tous les symboles P, I1'. P , I1,, ... soient

égaux à 1, c'est-à-dire les nombres premiers vérifiant la congruencedu théorème 1 i3. Comme la série (26) est infinie pour s = 1, tandis que les séries (55) restent toutes finies pour.s"=i. il en résulte que la série (5.6) est aussi infinie pours = i. c'csl-àdire qu'il y a une infinité de nombres premiers vérifiant la congruence.

i go

D. HII.BICKT.

§ i30. - représentation de toutes les usités dl coups circulaire al' moyen

d'umtés circulaires.

La deuxième expression du paragraphe 117 peut servir à démontrer le théorè

Théorème i44- — Toute unité d'un corps abélien est une puissance fractionnaire d'un produit d'unités circulaires.

Démonstration. — Prenons d'abord le cas où m = l. est premier impair. D'après la formule du théorème 1^2, le second facteur du nombre de classes contient au numérateur un certain déterminant A. Ce dernier est donc nécessairement =|=o,

, /— 3 d'où il suit, vu les considérations des paragraphes 20 et ai, que les imites

g . s g du théorème 1/12 forment un système d'unités indépendantes du corps

circulaire c{e~). Ceci montre l'exactitude du théorème i44 pour le cas particulier

du corps circulaire c(e~r) et, par suite, pour tous les sous-corps qu'il contient. [Kummer".]

On peut transformer le second facteur du nombre de classes, comme au théorème 142, même dans le cas où m est composé; l'expression obtenue conduit alors, avec le théorème i3i, à la démonstration générale du théorème i!\l\.

Les tables de nombres premiers complexes calculées par Reuschle constituent une mine abondante de valeurs numériques, de la plus grande utilité pour des recherches plus approfondies sur les corps circulaires. [Reuschle1, Kummer-', Kronecker12.]