CIRCULAIRES
En utilisant quelques-unes des propriétés du corps circulaire des racines m""™" de l'unité relatives à un de ses sous-corps quadratiques, nous arrivons à de nouveaux résultais relatifs aux corps quadra'iques. La fécondité de celle méthode s'accroît encore, si on la combine avec les propriétés du corps quadratique déjà démontrées directement, dans la troisième partie.
THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQI 1^. Ii)l
D'après le théorè général i 'i'i- toute unité d'un corps quadratique réel '•(v/"')
est puissance fractionnaire d'un produit d'unités circulaires ; on obtient simplement une unité particulière du corps c{\/ m) au moyen de l'expression
ai-
où (/est le discriminant du corps < \\ in) et où les produits II. Il sont étendus à tous
les nombres a ou 6 delà suite i. ■>. d, qui vérifient les conditions
= +i, (-J=— i. [Dirichlet7.] Voir S8C.
Loi de réciprocité des résidus oi u>ratiqi i s.
Soit / un nombre premier impair, r une racine primitive, mod /; L' = e' ,
s = (Ç ! "J ). Au sous-groupe des substitutions i, s", s1. ..., s'~', de c(Ç), corres-
pond un certain sous-corps quadratique c" de c^). Le discriminant du corps c('l)
étant (théorème 11S) ( — i) - l'~'~. le discriminant du corps c* ne contient pas (théorème 39) d'autre facteur premier que / et a par suite, d'après le théorème go, la
valeur d={ — 1 1 - /.
Soit p le nombre premier 2 ou un immbre premier impair quelconque autre que l. En décomposant p d'une part dans le corps c(l) des racines /"'";" de l'unité, d'autre pari directement d'après le théorème 97 dans le sous-corps quadratique c", el en comparant les résultats ■>!) arrive à une nouvelle démonstration de la l<>i de réciprocité des résidus quadratiques. [Kronecker15.] Nous procéderons comme -uit :
/' étant le plus petit exposant positif, pour lequel //=i, iimd /. en posant
c= — ; — , p se décompose dans ni') (théorème 119) en e idéaux premiers °*>,
s^> s*-1^, et le corps de décomposition commun c,, de ces idéaux premiers
esl de degré e (théorème 129). Le nombre premier/) est ensuite évidemment décomposable ou non dans le corps quadratique c*, selon que c' est contenu ou non dans rr En remarquant que le corps c(Z) ne contient pas d'autre sous-corps quadratique que r* et que de [dus, pour qu'un corps abélien possède précisément un sous-corps quadratique, il faut el il suffît que son degré -"il pair, on voit que pour
WJ2
1). HIMIKIIT.
que c* soit contenu dans c(l il faut et il suffit (jue e soit pair. D'autre part, d'après le théorème 97, /* est ou non décomposable dans c*, selon que l'on a
= + 1 , ou = — 1 .
< )r. si c est pair, on a
p - =p' '* = 1 , mod /.
c'est-à-dire ( - ) = + 1 : sinon
tl Le
p - =p'2 s( — 0e — — 1. niod /. c'est-à-dire ( - ) = — 1 . On a donc toujours
Nous supposons d'abord p impair; de (57) résulte
my^
et, en échangeant/; el /.
tt-*)~\ ((-
Cette dernière égalité donne en prenant /=3 :
() =(,)•■ La réunion des égalités (58 et (59) donne
Si nous posons dans (."17) p= 2 , on a
(T)-(fcH^)-<->-
Les forum les (60), (09) el (61 1 expriment la loi de réciprocité îles résidus quadratiques, aiu>i que les lois complémentaires.
THÉORIE DES CORPS Uli NOMBRES ALGEBRIQUES. Kj.'i
§ i23. — Les corps quadratiques imaginaires di discriminant premier.
Théorème iA5. — /étant un nombre premier = 3 mod 'i el p un nombre premier de la forme ml+ i, on a pour tout idéal premier p facteur dep dans le corps quadratique imaginaire c{\/ — /) l'équivalence
s*- sa
où -a désigne la somme des plus petits résidus quadratiques positifs mod /. el 1// la somme des plus petits non-résidus.
En posant de plus p := pp' et
où (ii) est un entier du corps imaginaire <'(y — /), on a la congruence
SS5±IÏ(55ôï' (P',•
où le produit du dénominateur est étendu à tous les plus petits résidus quadratiques positifs a, mod /. [Jacobi '-':t' ', Cauchy ', Eisenstein '.]
Démonstration. — D'après le théorème 1 36, on peut, Ç|> étant un idéal premierdu premier degré île c(Ç), poser, avec les notations y indiquées,
(6a) Vf„r+t,.«--+il,+,.w-»==(Aj>
A étant un entier de c(Ç). Si alors p = ml+ i est le uombre premier divisible par %* et p = pp', la décomposition de ce nombre premier dans le sous corps quadratique c(\/ — /) de c(Ç), ces deux idéaux premiers p, p' de c{\/ — /) sont
p -— aji+««+»«+.+»i— >
En élevant l'égalité (6a) à la puissance symbolique (i + s* + ... + 51-*), on obtient
pïo-H-r1 H«/+3j)'î l-i-»3+ ... +Ï-J+2 /a)
où a est un nombre de c(\/ — /). A cause de
Se — Sa '/-, + '/-,+ ■■■ +g,.., — qa — q%—... — q l t ,= (r + i) ; .
on a, vu l'équivalence pp' » i.
D'autre part, on peul poser (théorème 1 35)
B étanl un nombre de c(Ç). En élevant celte égalité à la i r + s1 + ... s1'3)" ",e puissance symbolique, on en déduit
Zb-ti
(64) ps*-M= p' < ^ 1.
Comme r + 1 n'est pas divisible par /, si nous mettons de côté le cas de /=3, suffisamment clair parlui-même, il résulte des deux équivalences (63) el (64) celle du théorème 1 i5.
La deuxième partie du théorème est une conséquence des propriétés i'|3) el 1 14) de la résolvante de Lagrange A démontrées au paragraphe lia»
On a une démonstration tout à fait différente de la première parlie du théorème 1 '|."> en s'appuyant sm une remarque faite vers la fin du paragraphe 86, au sujet de l'expression du nombre de classes du corps c\y — /) dans le cas de / = 3. mod 4.
On arrive même, par une modification remarquable de la méthode de Jacobi, à ('tendre l'énoncé du théorème i'|."> au cas où le nombre premier/) n'est pas de la Ici nie ml + i. [Eisenstein ", Stickelberger1.]
§ 124- — DÉTERMINATION DU Mi;NF. DE I. A SOMME DE (i\USS.
Suil /j un nombre premier impair, on peut obtenir, selon les définitions du paragraphe 111, étendues dans le paragraphe 1 1 ■>., la base normale de Lagrange et la rés< il-
vanle de Lagrange, dans le cas de /= •>., pour le corps quadratique c, V ( — 1) i pj .
Suit Z=c''7. La base de Lagrange se c pose pour ce corps des deux nombres
et la résolvante de Lagrange est
loi (»)
11 el b étanl les résidus el non- résidus quadratiques de /) compris dans 1 . ■> p — 1 .
Le problème indiqué à la fin du paragraphe 1 12, de la détermination complète de A- une loi- a' trouvé, revient ici, dans le cas lu corps quadratique, à la détermination d'un signe ±, et la solution esl la suivante :
Théorème l46. — La résolvante de Lagrange A'bi corps quadratique de discriminant p 1 premier - 11 : p est un nombre positif réel ou puremenl imaginaire positif.
I ( iauss -, ko mecker '.]
THEORIE Dl S CORPS DEfrNOMURES ALGEBRIQ1 l s. | g5
Démonstration. — Le carré de la racine de Lagfange en question A esl toujours
égal à ( — i) - p, parce que A esl un nombre du corps quadratique el que, d'après le théorème i38,
|A| = \/p • On a donc
A= bV(-i)Vp.
Les idéaux p, <|> du paragraphe i 1a sonl remplacés dans le cas actu I de /=a par (p) et 1 1 — J i; la congruence i 13) donne alors
A = (i — Z) 2 . mod (i — Z) -
c'est-à-dire
(66) A=^ '-'■ d— Z~. modii- Z)
Considérons d'autre part l'expression
Comme cette dernière change seulement de signe lorsqu'on remplace Z Par ZR>
y-' R étant une racine primitive, mod p, el que l'idéal : A I coïncide avec l'idéal (î — Z ' •
on a nécessairement
Pour déterminer le sig&e, remarquons que l'on a
= /;- fu P-'
Z""— Z •*= — a/sin— -. A /' V
p-i et qu'on obtient par suite pour A une valeur de la forme | — m j P, où P esl positif.
Donc, en entendant par \ — i) - p celle des racines carrées qui esl réelle positive ou positivement imaginaire, on a
in(i D. IIILBEKT.
Enfin, la relation
montre que l'on a
A = ■>■■!*■ 6. ..(/> — i)0 — Z) 2 ='J ! — — K>— Z) - . niod (i — Z) '
et par suite, ï u (66),
A = 2 2 A . mod ( i — Z) - •
Comme l'on a
(m obtient, à cause de (67),
A = V(— 0 " /'• mod (' — Z) - ,
et par suite à cause de (-65),
ce qui démontre le théorème i4<>-
On n'a pas encore publié beaucoup de travaux sur des corps abéliens de degré supérieur au second; mentionnons le travail d'Eisenstein sur les formes cubiques, provenant de la division du cercle, qui est une introduction à la théorie des corps abéliens cubiques [Eisenstein10], le travail de Bachmann ' sur les nombres complexes composés de deux racines carrées, et enfin les recherches de Weber sur les corps abéliens cubiques et biquadratiques. [Weber2, '.]
