CHAPITRE XXVIII

Décomposition des nombres d'un corps circulaire dans un corps kummerien.

§ \-ib. — Définition d'um coups kummerien.

Soit / un nombre premier impair el c(Ç) le corps circulaire défini par £ = e ' [a étant alors un entier de c(Ç), f|iii ne soit pas en même temps la Pime puissance d'un nombre de c(Ç), l'équation du l"'me degré

est irréductible dans le domaine de rationalité c(Ç). M = y/y étant une racine déterminée choisie arbitrairement de celte équation, les autres sont Iffl. Z'M -'^'M-

J'appellerai corps kummerien le corps déterminé par M et .'. Un tel corps kùn srien

C(M. 0 est de degré /</ — i); il contient c(Ç) comme sous-corps, el c'est, par rapport à ce dernier, un corps abélien relatif de degré /.

Le changement de M en L'M dan- un nombre ou un idéal du corps kummerien donne le nombre ou l'idéal conjugués relatifs. Nous représenterons ce changement par la substitution S.

On démontre facilement les propositions :

Théorème 1^7. — Pour que le corps kummerien engendré par M=:y|/,el Ç soit un corps de Galois dans le domaine des nombres rationnels, il faut el il suffit que

l'une des puissances symboliques y.*-1, ;j.s-\ ..., y."'-'"' soit la /"' puissance d'un

nombre de c(Ç). (s = (Ç ; £r), r racine primitive, mod l.)

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit abélien est que : y.*-' soit la !''"'■'' puissance d'un nombre de c(Ç).

Lorsque le corps kummerien (M- '-!> est un corps de Galois. ou un corps abélien, il résulte, comme le montrent les considérations du paragraphe 38, de la composition du corps ci £) et d'un certain corps de degré /.

D. HII.BKHT.

S» 126. — Discriminait relatif iù \ coites kummeiue.n.

Notre premier problème est celui de la détermination du discriminant relatif de ciM- '-'' par rapport à c(Ç), Nous démontrerons d'abord la proposition suivante :

Lemme 23. — Si un idéal premier p du corps circulaire c(£) est la l"'*' puissance d'un idéal premier %* du corps kummerien o(M, Z) et que A soit un entier de a M. -) divisible par sp, mais aon par ty*, le discriminant relatif du nombre A et celui du corps kummerien <(M. 0 par rapport au corps c('Ç) contiennent le facteur idéal p à la même puissance.

Qénfonstration. — Tout entier du corps c(M. 0 peut être mis sous la forme

où 2, •/, *,,, p sont des entiers de c(Ç). Si fi est divisible par p, il en résulte (pie

le numérateur 'de la fraction doit aussi être =0, inod p.

A cause de A = o, mod $>, on en conclut a = o, mod V et, comme a est dans <('.'). également a = o, mod p. Cette dernière congruence donne

?-,A + asA°" +•••■ + */-iA'-1 = 0, (mod p),

et comme A =[=<>• \' = o, A3 = o, .... a'"' = o, mod p. on a -/, = o, mod P, et par suite aussi, inod p: on a donc aussi

,iAi + ... + ï,-1AM = o. (*>)•

Comme A'^l-o. A'=o. •■■- A'~' = o, mod 5p', on a i, = o. mod «V, et par suite aussi, mod p.

En continuant ainsi, nous voyons que tous 1rs coefficients a, /, /,, doivent

g être divisibles par p. Si maintenant !>' est un entier de c(Ç), divisible par L. mais non

par p, les nombres xfl', a,V *t,f>' *"nl lllUS divisibles par S. En posant

*'=y. «/=rp •••• "»-= — •

nous obtenons

fr'

où le nombre V du dénominateur contient maintenant un l'acteur idéal p de moins que p. I '11 appliquant à (69) la même méthode qu'à (68) cl ainsi de suite, nous arri-

THEORIE DES CORPS DE NOMBRES Al.i.l Hli H il l s. i<|i|

m m s finàlcmenl au résultai que toul entier LJ du corps c M- - peul être mis sous la forme

où ■/.. j, '■>■!>• p sont des entiers de c(£), fJ étant en outre premier à p. Supposons

exprimés sous la forme (70) les 1(1 1) nombres d'une basi du corps kummericu ci M- -' '• el formons avec ces nombres el leurs conjugués relatifs la matrice à l lignes : il esl alors visible que le discriminant relatif du corps kummerieu i M- - multiplié par certains entiers fi premiers à p <le c(Ç) doil être divisible par le discriminant relatif du nombre A- ce qui démontre le lemme a3.

Théohème i£8. — Soit X= 1 — 1 et Ï = (X). Si un idéal premier p autre que I de c(ï) entre exactement à/ la puissance e dans le nombre y., le discriminant relatif du

corps kummerien déterminé par M == VU el Ç par rapport à ç(Z) contienl en facteur exactemenl la puissance p:'~' de p. si eel / sonl premiers entre eux. Si. au contraire, e esl un multiple de /, le discriminant relatif esl premierà^.

Quant à l'idéal premier I . nous pouvons 1 l'a bord exclure le cas où ;j esl divisible par I el contienl cet idéal à une puissance donl l'exposanl esl un multiple de l; car alors le nombre y. pourrai! être remplacé par un nombre ■>' premier à I. le corps c\\ u.*, .'I restant le même que le corps c\\ /.L'). En dehors de ce cas , \j. peul contenir une puissance de I donl l'exposanl esl première /. ou bien u, peul ne pas être divisible par 1. Dans le premier cas, le discriminanl relatif de c(\ ■j-.'I). par rapport à c ' . esl exactement divisible par l'*-'. Dans le second cas, soit m le plus grand exposant -^ / pour lequel il existe dans c(Ç) un nombre x, tel que u. = v! mod V". Le discriminanl relatif est alors premier à [, dans le cas de m = 1, et si /»<^/il est divisible par la puissance ["l1"^ " '• tle [.

Démons/ration. Première partie. — Suit - un nombre entier de c(ï) divisible par p . mais in m par p', el soit v un nombre entier de c '!> <li\ isible par -, mais premier à p ,

Si l'exposanl de la puissance de p contenue dans ■>. n'est pas un multiple de /. on

peul déterminer deux entiers a el /'. tels que i = ae — l>l: alors \>. — - — jf est un

entier de c .' divisible par p, mais non par p'; el si ['on pose M* = \ ;>' ■ on a c M*. -i = 'i M. Q; et si l'on désigne par SP le plus grand commun diviseur i • 1 « " . 1 1 de v> el M" dans ci M- '- • on a(4)

>V = SV. p = «V

(') N. T. — Car Sp = p . SM". = -M*. *' 'e I''lls grand commun diviseur il ■ p ri île M* est le même que celui île p el de M", car £ esl une unité.

200 U- HIUSERT.

L'idéal *1> èsl dune un idéal premier invariant du corps kummerien ci M- 0 Par rapport au si>u>-corps CiZ): d'après le théorème g3, il entre donc comme facteur dans le discriminant relatif de c(M. 0 par rapport à c('l). Commede plus M* est divisible par ?|>, mais non par Çp!, et que le discriminant relatif de M*- par rapport à ci Z),

est égal à ( — i) 2 /'u"'~', l'idéal p est donc, d'après le lemme a3, contenu dans le discriminant relatif du corps c(M. -') exactement à la / — i™' puissance.

e tjtv

Si.au contraire, l'exposant e est un multiple de /, u* = — - est un entier de c(Ç) non divisible par p; comme le discriminant relatif du nombre M* = \ ;•>•* parrapport

à a'1) est égal à ( — i) 2 t! y.''~' , il est premier à p. 11 en est de même du discriminant relatif du corps ri M. Ç> par rapport à c| £).

Deuxième partie. — Dans le cas où ;jl contient l avec un exposant e, non multiple de /. procédons comme dans la première partie et prenons à la place de u. un

nombre u*. divisible par 1 et non par V . Comme le discriminant relatif du

/— i nombre M" = {/ \'" a la valeur (— i ) 2 l1 \j''~' . le discriminant relatif du corps cl M, ») par rapport à c(Ç) est exactement divisible par l'3-', d'après la nature du nombre ;j* et la lemme 23.

Nous avons en second lieu à examiner le cas où ix n'est pas divisible par l. Soit

d'abord m = l; il y a donc dans c(Ç) un entier x, tel que ;j = ï, mod t . ■ — rj— est

donc un entier de e(Ç)> et, par suite, l'équation de degré /en x

(Ix — y.)' + |X

a tous ses coefficients entiers. Comme en posant M = V \>-- oc = — ; — est une racine

de cette équation, Q = est un entier du corps ci"). Le discriminant relatif de

ce nombre Q est égal à i\i!~\ î étant une unité, et, par suite, le discriminant relatif du corps ci M- 0 par rapport à c(Ç) est aussi premier à 1.

Soit ensuite /»<;/, de sorte que |j. ne soit pas congru à une puissance /■"" ". mod 1' ; posons ;j.= x' + iù'", mod 1"' '. y. étant un entier de c(0, m l'exposant défini dans l'énoncé ri a un entier rationnel non divisible par/. Considérons abus l'idéal

Le aombre - n'est certanemenl pas entier, car sa norme relative par rapport

y.' — v à e(0» c'est-à-dire - — j-^, est fractionnaire, à' cause de m <il; donc, le nombre x — M

THEORIE MS CORPS DE NOMBRES AX.GKBRIQUES. SiM

n'est pas divisible par 1; par suite, l'idéal ?l r>t différent de I. D'autre part, ?( r>'esl égal à i . car la m unie relative du m in il in- %— M est, à cause de

(7.) N.(*-M) = «'-Ms-ai", (l" ')

divisible par 1'". Comme on a S2l = 2(. 51 est un idéal invariant, el comme ce doit être un facteur de (, ce dernier appartienl à la première des 1 1< ■ i ^ catégories d'idéaux premiers du sôus-corps distinguées (S 57) dans la démonstration du théorème o3. c'est-à-dire (==ï', y étant un idéal premier, évidemment du premier degré de (•(M, 0- La congruence (71) donne alors ?t = y"'.

Déterminons maintenant deux entiers positifs a et l>. Iris que mu — bl=i, el posons

r> = (fl— M)*

De SM = i;M- "h déduit

S( , la — M +>-M>"

et nous concluons de cette expression que ù — SU contient en facteur y1'-'"'11. Comme il en est de même de Ion te différence entre il et un de ses conjugués, le discriminant relatif de il par rapport à c(Ç) contient en facteur exactement la ( / — 1 )(/ — m + 1 )"""' puissance de l'idéal l . 11 en résulte; Q n'étant divisible que par la première puissance de il , que le discriminant relatif du corps e(M. -j par rapporl à e('Ç) est aussi divisible par la même puissance 1 lemme 23).

Le discriminant relatif du corps kummerien cl M. -'' par rapporl au corps ci 1 1 est ainsi complètement défini, el l'on peut immédiatement en déduire le discriminant du corps ciM. -!1 (théorème 3u)'.

S 07. — Le symbole

Il est nécessaire pour la suite de généraliser le symbole introduit au nara-

graphe 1 13, pour le cas où \j. est divisible par n> et pour celui où M> = I .

Soit n> un idéal premier quelconque de cl Q et y. un entier ([ne Ici m que de Cl -'). qui ne soit pas égal à la /'""'puissance d'un entier de c(Ç). Quand le discriminant relatif du corps kummerien engendré par M=vV et Ç sera divisible par M», le symbole — ! aura la valeur o.

Si, au contraire, le discriminant relatif de ce corps ci M. Q n'est ]ias divisible par iv. on peut, d'après le théorème 14S, toujours trouver dans c(Ç)un nombre x, tel que u*=x';.;., soit un entier de c(Ç) non divisible par m. Si ■>. est lui-même premier

à tp. -/ = i remplit déjà celle condition. Nous définissons alors, si «)=!=!, le symbole en question par la formule

jto) 1 10 i

Mais si 10 = 1. on peut, le discriminant relatif de ci M. '-'> devant être premier à 1 . choisir en oulre le nombre a (théorème i48), de façon que l'on ait u*=i. ninil l'. On a dès lors une congruence de la forme

,,.♦= i +àk', (!' '),

où a est un des nombres o, i. i, ... I — i. Je définis alors le symbole !— par

l'égalité

Si y. esl la / e puissance d'un nombre de c(Ç) el it> un idéal premier de c(Z). on

prendra — = i .

La valeur du symbole est ainsi fixée pour tout entier u. el tout idéal pre-

\ to ) ' ' '

mier 10 de c(Ç); elle est d'ailleurs égale à o ou à une racine l""K de l'unité.

Enfin a étant un idéal quelconque du corps ni'), si l'on a a = p<i ... w. p, q. etc.

étant des idéaux premiers de c(Ç), on définira le symbole — par l'égalité

i n \ \ p il q ) '" | to )'

a, 6 étant des idéaux quelconques de c(Ç), on a donc

/ab\ a 6 i'

§ 128. — Idéaux premiers d'un corps ki mmerien.

Soit [jl un entier de c(Ç), M =v !* un nombre en dehors de c(Q. La question de la décomposition des idéaux premiers du corps circulaire c(Ç) en idéaux premiers du corps kummerien nM. Ç) est résolue par le théorème suivant :

Théorème i'io. -- Un idéal premier quelconque p de cO est. dans le corps

kuin rien nM. Ç), suit égal à la /"'"e puissance d'un idéal premier, suit décompo-

sable en un produil de / idéaux premiers distincts, suit premier lui-même, selon

(iue =0, =1 ou = une racine F* de l'unité différente de 1.

Démonstration. — La première partie de <c théorème se rapporte aux idéaux premiers qui (li\iscnl le discriminanl relatif du corps kummerien : ils sonl donc invariants, d'après le théorème <j.'i. Ce l'ail bu le théorème i48 monlrenl donc pour ces idéaux l'exactitude du théorème.

Si p est un idéal premier qui ne divise pas le discriminanl relatif du corps c(M, '■)<

soil \>~ un entier non divisible par p, hl que le quolienl ' soil égal a la /""■' puissance d'un nombre de c(Ç). Le corps c(M. ï) est alors engendré égalemenl par M* = vV el :.

Examinons d'abord le cas de p-=|-= I.. Si alors J- -| = i, le m un lue v est, d'après

le théorème i3g, rt'siil u de /••""' puissance, mod p. Déterminons, ce qui esl toujours

possible, un entier ■/. de c(î), tel que l'on ail jj." = ■/', (mod p), et ;j* =1= -/', (mod p!). En formant alors les idéaux conjugués relatifs

nous obtenons facilement

p = sp.Ssp ... S'-^'SP.

Connue

( %». S«p ) = ( p. M* — a. CM — a) = i ,

S}> esl différenl de q>, et, par suite, les / facteurs premiers %*, S%V ... S' '$p de l'idéal p sont distincts. L'idéal premier p de c(Ç) appartient donc à la deuxième catégorie des idéaux premiers du sous-corps (théorème ç)3), il se décompose donc dans ('(M. s) en / idéaux premiers distincts. Inversement, si un idéal premier p du corps c(Ç), différent ou non de l'idéal (, se décompose en / idéaux premiers distincts <J>, S%V ... S'— '$P du corps c(M, 0, on a, p étant le nombre premier divisible par p. N(«t>)=//ct \(p) = N(%M ... >"( S'- '%*)=:»"'. et. par suite, la norme d- p, prise dans le corps c(Ç), «(» esl aussi égale à //. L'égalité des normes N(<J>i el n(p) montre, comme au paragraphe 57. que tout entier du corps ci M- 0 esl congru,

mod »>>, à un entier du corps c(Ç); en posant en particulier M~ - ■ /. d <l>. -/ étant

dans c(Ç), on a M*' = ;•>* = ».'. mod <?>, el comme a* — a' esl un nombre de c(Ç), on

doit avoir aussi u.* = a', mod p, c'esl-à-dire que ! -i=i. La dernière partie

( P \ (P ) du théorème 1/49 est donc complètement démontrée pour le cas d'un idéal premier p =|= I .

Enfin, relativement à l'idéal premier (.si le discriminant relatif du corps c(M,Ç)

Mi'i D. IULBERT.

par rapporl à c(ï) n'est pas divisible par 1, on a, pour le nombre <i' , d'après le théorème i 18, une congruence de la forme

<>■' = %' + ni1 , (!'+'),

a étant un entier rationnel. Si maintenant l'on a — !=i. c'est-à-dire si a est divisible par /. il en résulte une congruence de la forme

u* = a' + (fl'+l, (F+2),

nu a" esl encore un entier rationnel. Si a* n'est pas divisible par l, nous posons ;j.*' = a*; si, au contraire, a* esl divisible par /. nous posons

il en résulte

;j." = v.' + ï<+lv.i, (l'+2).

D'après cela, le nombre \j." vérifie toujours une congruence

où n" esl un entier rationnel non divisible par /, et, par suite, en posant

M"=vV" et •

nu a la décomposition

( loinnic

l = fi.Sfi ... S'~* fi.

Sfi est différent de fi, et. par suite, les / idéaux premiers fi. S8, ••■ S'— 'y sont distincts.

Inversement, si ! se décompose ainsi dans le corps kummerien, les normes de fi dans c(M. 0 f't de l dans c(Q sont égalés, d'après une remarque antérieure, applicable, on l'a indiqué, même au cas de p — I, et, par suite, tout entier de c(M. Ç) est congru nind y à un entier de ni'). Comme ensuite, d'après le théorème i|.'i. I ne divise certainement pas le discriminant relatif du corps c(M. K) Par rapport à c(Ç).

, , y- — M' nous pouvons, d'après le théorème il$, poser j/r^a', mod I', et — : est dune un

entier. Comme fi est un idéal premier du premier-degré dans riffi, l), nous pouvons l ruiner un entier rationnel a congru à cet en lier mod fi; a luis un a, V désignant la norme relative par rapporl à c(Q,

THEORIE l>KS CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 20;i

c'est-à-dîre

( y. — ai, i' — •!.' = o . (!'+');

on a dune - = -j- =i, ce qui achève la démonstration du théorème i 'mi-

Le théorème i4g nous fournil un moyen simple de distinguer, dans le cas particulier des corps '''M- £) el c(Ç), les trois sortes d'idéaux premiers indiquées au théorème çi.'î pour un corps supérieur cyclique relatif de degré relatif premier.