Q. — DÉFIIUTIOK DES RÉSIDUS DE NORMES ET DES M>\ RÉSIDUS

Soit, comme au paragraphe ia5, y. un nombre de c(Ç), tel que M = V > '"' "•"'' pas dans c(Ç) el --"il 'M. 0 le corps kummerien déterminé par M el Ç; --"il N"C(A) la m. nui' relative d'un oombre A de c(M, -j par rapport à c(Ç). Soil u> un idéal premier quelconque du corps circulaire c(Ç) et v un entier quelconque de ce corps. Si alors •/ est congru mod n> à la norme relative d'.un entier de c(M, Ç) et si, en outre, on peul trouver, pour une puissance de \v aussi élevée qu'on le veut, un entier A du corps cl M- -' >■ tel que l'on ait v = Vi A I suivant cette puissance de n>. j'appellerai v /;// résidu de normes du corps kummerien mod to. Dans tout autre cas, v sera non résidu de normes du corps kummerien modt».

S i3o. — Théorème sur le nombre des résidus de normes. — Idéai v de ramification .

On a l'important théorème suivant :

Théorème i5o. — Si w est un idéal premier du corps circulaire c(ç), "<' divisant pas le discriminant relatif du corps kummerien c(M. ~)> tout entier de c(Ç) premier à w est resiilu de normes du corps kummerien mod w .

Si, au contraire, w est un idéal premier du corps circulaire c ,' . diviseur du discriminant relatif du corps kummerien ci M. ç), et qu'on désigne par e, dans le ras de l»=|=f, un exposant positif quelconque, et, '/uns le eus de w = f, un exposant quelconque >/, il v a exactement un /'""" de tous les nombres de ci u) premiers à w et incongrus modwe. qui sont résidus de normes modw,

2C)G D. I1ILHERT.

Démonstration. — Soit d'abord » un idéal premier de c(Ç) différent de 1 et ne

divisant pas le discriminant relatif du corps c(M- 0; il > a deux cas à distinguer, suivant que w est décomposable ou non dans ciM, Ç). Dans le premier cas. soit îtt un idéal premier facteur de » dans c(M. 0- En nous reportant à la démonstration du théorème i48, nous pouvons, sans diminuer la généralité pour cela, admettre que ;j. et par suite aussi le discriminant relatif du nombre M = V' ?■ Par rapport à c(Ç), ne sont pas divisibles par 28; il y a dès lors certainement dans ciM- î un système de / entiers A, A, vérifiant les congruences

A, + A.Ç'-'M + ■ • ■ + A^'-'Mi'-1 = i.

Or, tout entier du corps m M- Ç) esl évidemment congru inod "1B à un entier de c(Ç); en posant

A, = a,. A, = *,, ■■•- A( = ar. («).

a,, -y2, .... ï, étant entiers dans c(Ç I et

A = «,+ -^M + ■•• + a,M'-'. on en déduit

v = A. i = SA i=S'-'A, (W);

et en multipliant, on a v = NC(A), mod SB. et par suite aussi, mod ». Ceci démontre dans le cas présent la première partie du théorème pour le cas de e= i. Pour passer aux cas de e> i , supposons que l'on ait v e|= Nc(A). mod »'~, et posons alors

Nc(A)

i.) étant un entier de c(Ç) divisible par M>, niais non par »*. L'entier B = AC + /*(•>),

où /* est un entier rationnel vérifiant la congruence II" = i. mod m remplit alors la

condition v = Nc(B). mod tir. En continuant d'employer ce procédé, nous arrivons

finalement, pour toute puissance»', i entier de c(M. Z), dont la norme relative

par rapport à c(Ç) est congrue à v mod »''.

Soit, d'autre part, » indécomposable dans nM, Q: nous pouvons encore supposer

[j. non divisible par », et alors, d'après le théorème 1^9, y. n'est pas résidu de

/l,m' puissance mod n>. D'après les conséquences du théorème 109. il y a dans c(Ç)

exactement /• — résidus de /"'""'" puissances mod w premiers a »; en bs

représentant par;, pr, lesn(») — 1 nombres

fi = 1.2 ''•

sont tous incongrus, mod m . car y- n'esl pas résidu de /""" puissance, mod w , et, par suite Iniii nombre de ci : premier à ko est congru, mod M>, à l'un de ces nombres. En

posant p, = *' p,. = at|,, mod uv 7. xr étanl des nombres de c(ç), on en

déduit

et, par suite, loul entier de c(Ç) premier à tu est congru mod n> à la norme relative d'un certain nombre de c(M»Ç): on en conclut, comme dans le cas précédent, que pour tout nombre v on lier de c(Ç) premier à w, on peul trouver un entier de c(M. I) dont la norme relative soit congrue à v, mod we .

Si nous voulons maintenant démontrer la première partie du théorème [5o pour le cas de tt> = f, nous pouvons supposer y. premier à l; désignons par "/.'" la plus haute puissance de ), contenue dans y.'-' — 1, m étanl dans tous les cas > 1, et posons

;J.;-'= 1 + al'", (V" '1,

a étant un entier rationnel premier à /; a* étant alors un entier rationnel, tel que

aa" = — 1. mod /. en posant »* = ;;."-'-', on a

D'autre paît, un a les congruences suivantes, où g est un entier positif quelconque et // un entier positif quelconque premier à / :

(d -À"")' =1 + x'- (, X"-')'"= , +hX'

Comme le discriminant relatif du corps c(M, Ç) par rapport à c(Ç) ne peut, dan- le cas actuel, contenir le facteur (. on a nécessairement, d'après le théorème r48,

(') N. T. — En effet, d'après le théorème i48, on doit avoir

d'où

mais donc ainsi, chois

lWSI, (I1) |/"si, ((');

a'-=i + aX"\ (!'" 'i

Soit d'abord m = l. On déduit alors facilement^) des congruences (72) et (73) que pour tout entier positif ;/ on peut trouver daiis c(Ç) un entier xp vérifiant la congruence

En posant alors |y| = \/;.i.* et Q, = r-2 — . il,, esl toujours un entier de oM- Ç)

el on a

De là résulte immédiatement (2) que tout entier v de c(ï) vérifiant la congruence v = r, mod I. est résidu de normes du corps c(M< 0- m"(' ' • ()n lève facilement cille

(M N. T. — On a

Mais en multipliant a' par une série de puissances P ■""* convenables (1 — Àr+I)'«, on peut avoir

ii.*II(i— X'-)'»= i-À', d' " ')• Soit, en effet,

en multipliant membre à membre cette égalité et la congruence

(1— r+,)'y=i + . y À'". (!' ■'-) on obtient la congruence

d'où en posant x = k et y= — z, (1)

Posant alors

on aura de même

et ainsi de suite, jusqu'à avoir

Mais alors en multipliant membre à membre celle congruence et

(l — X" 7=1 + >,'", Il' '" ')

(-) N. T. — On a successivement

v == 1 — a,) — a,7.s = Ne(Q?0(i — &,'.') = Y-<i.2?')(i — a3)*' = N^QfiQ»*), (!')

en posant

Vc(C?0= 1 — a,A — a,X* + 6t>.', d3)

et ainsi ,1c Miilr.

THEORIE) DES CORPS DE NOMBRES A.LGEBRIQI I s. :>(>()

restriction de v= i . mod 1 . En effet, v étanl un entier quelconque premier à 1. congru mod ( à l'entier rationne] a, posons v"=:a*'v, a* étant un entier tel que aa'ssi, mod I: alors on a évidemment v*= i, mod 1. et, d'autre part, v et v sont en même temps résidus ou non résidus de normes du corps c(R/|. 0> mod t.

Soit ensuite dans la formule (7a) //<>/. et. par suite. — j = 1 ; nous pouvons

alors, g étant un entier positif quelconque, t ruiner deux entiers a et x , dec(Ç), tels <]ne l'on ait

Nous posons, conformément au théorème 1^9. l = fifi'...fi , fi. fi'. ... étanl des idéaux premiers distincts du corps ci M- £)■ Les deux nombres

. __ 1 — agM' . 1 — ■>■„ ,M"

il' » •).

ou Jf\* = \/ ij. si iu t des entiers, el comme l'on a \(j A,,1 = — ' • mod 1", A., csl divisible par un des idéaux premiers fadeurs de 1. fi par exemple, el contient ce facteur au premier degré et aucun des autres. Des formules 1 7/1 résulte

et iiiius pouvons alors supposer que tx +1 soit choisi dans la série des nombres z ,

"*,, , *''V-,- dl' ''"•'"" '1'"' ' "u ait a9— V-- mod I=- et' Par suile' A,, = A„.,.

mod 1. D'après la dernière de ces congruences. A,, est aussi divisible par 8, mais

non par fi', fi"~"; el comme on a aussi NC(AS ,) = — À, mod f. A,, , n'est divi-

sible que par la première puissance de fi. .Nous pouvons, d'après ce qui a été

A déjà démontré, mettre le nombre fractionnaire — — sous forme d'une fraction dent

ng 1

A les deux termes seront premiers à I . En posant — ?- = Qg, mod l9 ', de façon que {}"

y * suit un entier de cl M- 0> "n :1

L ne telle formule étant possible pour tout exposant positif j/. on montre comme plus haut que tout entier premier à I est résidu de normes du corps Cl fj\- t'!-

Nous passons maintenant à la deuxième partie du théorème i5o. Soit d'abord 1» un idéal premier de c(Ç) différent de I, divisant le discriminant relatif de c(M>Q; nous avons alors, d'après le théorème i'io- u> = 2B'. où 256 est un idéal premier de ci M. £). Tout entier de ci ffi. Q doit alors être congru à un entier de c(Q, mod iG. Si alors un nombre donné v de ci £) premier à u» doit être congru à la norme relative \ A d'un entier A de ci M- 0> ''' s' ||lllls posons A = *> mod Î6, il en résulte nécessai-

2 10 D. mXBERT.

rement v = ■/.'. mod "JO. et par suite, mod w. c'est-à-dire que v est résidu de /"'""' puissance, mod w. Inversement, si un nombre v de c(Ç) est résidu de /"""'puissance. mod u>. v est aussi évidemment congru à une norme relative NC(A), mod w. Nous en concluons que les résidus de /'""" puissances, mod w. donnent aussi tous les résidus de normes, mod u> du corps ci M- 0-

Il reste enfin à traiter le cas, où n> = I et où I divise le discriminant relatif de ci M. Q. On a dans ce cas 1 = S', i» étant idéal premier dans ci M- 0. et nous pouvons vu le théorème t£8) supposer que le nombre p. vérifie, soit la congruence

{J. = l, (!•), soii l'une des suivantes

m étant égal à r, ■>, / — j (*). Nous chercherons ensuite dans ces deux cas quels

sont les nombres de c(Ç) qui sont congrus à la nonne relative d'un nombre de ci M- "'• mod I' ' ou mod l' respectivement, et nous tirerons de là facilement le nombre des résidus de normes incongrus pour n'importe quelle puissance plus élevée de I .

Dans le cas de |j. = X, mod F. M est divisible par 8, et non par fi\ et l'on a les congruences

Vi i +M) = i + ),

Ne(i + M) =i +À + /,5;,,

rçc(i + Ma) = i +''■'■

Cf),

Nc(i-rM;> =i+l' + X'Pî,

Ne(i +M'-')= i +ï'-i + l'?l-,

. p, p;j sont des entiers de ci 'Q'.

(') X. T. — On a, en effet :

soil a = X*jj.', k première /, ■)' premier à '/. : soit ;j- premier à ). et =*', (l'"i, /«</.

Dans le premier cas, on déterminera deux entiers </, b, tels que

et on prendra

puis on déterminera y" de façon que p."'u/== i, il), et on prendra

;;. = ) u = A . (I ) . Dans le deuxième cas, on déterminera ,': de façon que fa= i, (Il d où

y:j.= i+a'Am, il"' -').

et enfin on prendra y' = (,-';')"' • "' vérifiant la congruence

THKORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. :>. I I

Enfin, L'on a

(76) Yd -r X'M")=t, il' ')

pour /= 1. ■>.. 3, ... : g—\, 2 /— 1. Or, loul entier A du corps ci M- t) premier

à y vérifie évidemment une congruence de la forme

A = '/ (■ -r M)"' (1 + MT! ■•■ (1 + M'-')"'-1.

,aW

(1 + X'M)*ï' (1 + X'MTï' ... (1 + >.'M''-' >"!-:, (I1 '), où a est l'un des nombres 1, 2 / — 1 et les (Z -{- 1 ) (/ — j ) exposants a,

at a,-, sont des entiers déterminés de la suite o, 1. :>. / — 1. Des con-

gruences (76) et (76) résulte

\,IA) = «'(I + À + /.*?/'< I + r- + À';/= ... I 1 + A'"' + >.'?,, •"'-'• il' ').

L'expression du second membre représente . lorsque '( prend les valeurs

1, 2 / — 1 et at, «a ul i séparément, toutes les valeurs o, 1, :> / — 1,

(l — i)/'-' nombres, visiblemenl incongrus mod 1' '. Alors tout nombre de c(Ç) premier à I. congru mod I' ' à la norme relative Nr(Ai d'un nombre A de ci fj\, l) est nécessairement congru mod l'"' à une expression de cette forme et inversement, on conclut de (70) que toute expression de celle forme est congrue mod l' ' à la norme relative d'un nombre de n |\/|, Q. A l'aide des congruences (73) on reconnaît que deux nombres de c('Ç) premiers à I, congrus mod f'"', sont en même temps résidus ou non résidus de normes mod 1. Le nombre des résidus de normes mod f, premiers à I et incongrus mod l' ' est donc exactement égal à (/ — 1 )/'"'. c'est-à-dire au /"'""' des nombres de c(Ç) premiers à 1 et incongrus mod l' '. et ce résultat peul s'étendre immédiatement aux puissances (''d'exposant e>/+ 1.

Pour abréger, nous ne traiterons ici que le cas le plus simple de ceux qui sont encore possibles relativement à p.; c'est celui de ;j = 1 + X, mod l~. En posant alors Q=M — 1, Q est un entier de c(M> 0 divisible par y. niais non par S2, et en remarquant que NC(Q) = A, mod 1*. on trouve, par un calcul facile i'i. 1rs

(') N. T. — Nr( 1 -)- L2') est égal à — /,[ — 1), si l'on représente par fi{x) = o l'équation, de premier coefficient égal à 1, don! les racines son! + '.)' , + (*!■!)', etc. Or, cette équation csl la translormée de l'équationy^y) = 0 par la substitution .r= + y'. On a fj^y) = (y -\- 1)' — u, et on en déduit que

/l(œ) = œI + Z9(aï) — (li—i)', d'où