S1 = Q'-1 +(SQ)'-' 4- ... + (S'-'LJ

S! = Q'-'(SQy-1 4- Q'-'iS^Lii'-' 4- ... 4- (S'-2Q)'-'(S'-'Q)'-1,

St = Q'-l(SÙ)l-i(S'Qy-i 4- ... 4- (S'-3Q)'-1(S'-2Q)'-1(S'-1Q)'-C

On a de suite -t = l. Chacun tics termes à additionner clans ïa, S3 E,, est

divisible par 1", on peut de plus 1rs grouper en / séries, se déduisant l'une de l'autre

par les substitutions i, S. S? S'-1; en mettant .dors un terme quelconque sous

la forme M\ 'I> est un entier de ci M- 0> ''' peut, P'11' suite (démonstration du lemme 23), se mettre sous la forme d'un polynôme entier en Q et par suite aussi en M . dont les coefficients sont des entiers ou des fractions de cQ à dénominateurs toujours premiers à 1. En posanl donc 'li = F(M>. l'ensemble des / sommes peut s'écrire

X{F(M) + F«M) + - + F«MM)j.

la parenthèse est, on le voit aisément, toujours congrue à o, mod /: les nombres S , S3 S,, sont donc tous congrus à o. mod l'. el l'on a

(-8) Ke(i+ûH)=i4/4).M=i, d').

()u obtienl enfin facilement les congruences (79) Pïe(i+VQ»)=i. (I'),

pour £ = i, ■>. / — i ; g= i, a / — i .

Maintenanl toul entier de c( M- £.) premier"a M m'' ri lie é\ idem nient une congruence de la forme

(i + XQ)"Î . i + XDy- ... n 4- Ail'-')"'-',

I, + >.'-<.>,»,-'», , +>.-i.r^-"...0 4->/-'ty-V^", (!').

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES A.LGEBRIQ1 ES. 2 I .'i

où a est un des nombres i, ■> / — i cl où les/(/— 1 1 exposants a,, a, "!'V son!

des nombres déterminés de la suite o, i. 2 / — 1. On en déduit, vu les con-

gruences (77), (78), 17;)',

tfe(A) = a'(i +>. + X*p,)°i(i + X* + X*p4)°s...(i - X'-! + À'-'?,. j"< i, (10.

Le second membre représente alors pour les l— \ valeurs 1 . a / - 1 de a el

k-s / valeurs o, 1, 2 I — 1 des exposants at, a, a, ,, (/— i)l'~' nombres, qui

sont premiers à 1 el incongrus mod V. \ l'aide de la congruence \ 1 4-X'M) = i + X', mod 1' ' et des congruences (73), nous en ci nichions que le /'" de tous les nombres premiers à tel incongrus mod 1 donne tous les résidus de normes de c(M> 0< ''' nous étendons ensuite ce résultat au cas des puissances C à exposanl e — l+\ ou >/+ 1.

On obtient le même résultai par des calculs analogues lorsque \t. esl = 1. mod I*. et le théorème i5o esl ainsi complètemenl démontré. Remarquons pour tan I que nous nous arrangerons dans ce qui suit pour n'employer ce théorème que dan- le cas |i=i — >.. mod 1'. il'ini nous avons t'ait la démonstration en détail.

Le théorème 100 conduit à une propriété nouvelle et essentielle des idéaux premiers facteurs du discriminant relatif de ci M- -'' par rapport à c(Ç). Cette propriété correspond dans une certaine mesure au théorème sur les points de ramification d'une surface de Riemann, d'après lequel une fonction algébrique a dan- le voisinage

d'un point de ramification du / ordre une représentation conforme de l'angle total

sur le /' de ce dernier. Pour celte rai-un. j'appelle les facteurs idéaux premiers u>

du discriminant relatif de ci ffl. Ç) par rapport à c(t) des idéaux de ramification pour le corps-de c(H/|, Ç); « facteur premier du discriminant relatif», u idéal invariant », c idéal de ramification » sont donc ici svnonvmes.

Le -ï mi.i 11 i; .

Le théorème iôo nous fait voir la possibilité' de répartir les nombres du corps ci ''> incongrus mod w" (c> / dans le cas de t» = I) en /'sections, contenanl toutes le même nombre de nombres el donl l'une comprend les résidus des normes mod w>.

Pour mettre en lumière celte répartition, j'introduis un nouveau symbole '- .

faisant correspondre comme suit une racine /''""' déterminée de l'unité à deux entiers distincts v el u. de c(Ç) et à un idéal premier w quelconque de ce corps.

Soit d'abord m =|= 1 . Alors si v est divisible exactement par u»' et m. par m", on

formera le nombrex = — j- et on mettra y. sous forme d'une fraction —dont les deux