I-OH
mod /
Leur exactitude ressorl de ce que l'on a
(.,•)= gJ(x) + -, (i + x + ... +x'-i) + 0(x)(x'— .j.
(Si)"
w(e") = ri(e") +
v'~ ', (mod /).
Dans la première égalité, O(as) désigne un certain polynôme entier en <•. el la secondée signifie que, dans les développements des deux membres de cette congruence suivant les puissances de-u, les coefficients de i. v, v" v'~l sont congrus entre eux
mod /( ' i.
v, [j. étanl doux entiers quelconques de c(Q, tels que v = t. ;;.= i, mod I. nous
i-c ■ i i » iv< v-)
définissons le symbole \—r— comme suit :
( 1 j v ' i* j — "«(•)Wj('-i)(|L)-/W(v)Z('-«)(ii)+...-it«-t)witi)(|li
(') N. T. — Soit, plus généralement, w(Ç) un entier île c(Ç) non divisible par 1, de sorte que (o(i) ne soit pas divisible par /, et soit <u"(ï) le même nombre exprimé d'une autre Façon; on aura encore
~d° log (o (e')~| pP log (o- .■
rd»iog<o»ty'n
efe9
pour p = 1, 2, ... , 1-
(mod /).
En effet, soit
la l'orme réduite de io(Ç) el de w°(Ç), dé sorte que l'on ait
o,(.r) = (i + x + ... + x'-')Q( jï ) + Q{x) , ,.,-|.n . , i - .,•+ ... +.r'-'.)Q*(aj)-|-û(a;).
i + x + ... + x'~l et ses / — 2 premières dérivées sont divisibles par / pour x = 1 là cause de la congruence 1 -f- x + ... + .r'-' = [i — .c]'— ', mod /).
t.j(e'). (o'(e''), Q(e'') sont donc congrus entre eux, mod /. ainsi que leurs / — ■> premières dérivées, et il eu esl par suite de même des dérivées logarithmiques.
Si deux nombres a(Ç), (5(Ç) seul congrus, mod /, on a évidemment aussi pour toute valeur de g
ViP
log y 1 e <!v"
pFlog!3(ey]
(mod h .
2l6 D. HILBERT.
De cette définition découlent immédiatement les règles
( y, r,. y- 1 \ w- ) j vj/. )
( i S i i il i S' \— —\ — \— il i r
j v. ;;. 1 ( jj.. v /
où v, v, . v,, ;j . Uj, pi, désignent des entiers quelconques de c(Ç) = i, mod 1 . Si /• est une racine primitive, niod /, ets = (;: Zr) la substitution correspondante du corps circulaire c(Ç), on trouve aisément la formule
Si v et <>. sont des entiers quelconques premiers à 1 du corps c(Ç), je définirai le
syjnbole par la lormule
Dans le cas où l'un des nombres v, \j. ou tous les deux sont divisibles par 1 , M>ir les remarques à la fin du paragraphe 1 33.
i3a. — Lemmes sir le symbole — -— et les kesidis de normes mod I.
Lemme 24. — 10 étant un entier de a".) congru à 1, mod I, la norme Mco) de 10 dans ci j \érilie la congruence
/"-"Co)^'-"0'0, (mod/).
[Rummer20.]
Démonstration. — Soit m(x) le polynôme adjoint à w, et soit F(x) = IIw(t +x('J— 1)),
le produit étant étendu aux valeurs gr = o, 1 / — 1. F(œ) esl un polynôme en x
à coefficients entiers et les coefficients de lous les tenues divisibles par x' sont é\i-
déminent divisibles par /'. et par suite aussi, à cause de la rationalité des coefficients. par P. En développant suivant 1rs puissances «le x, on obtient ensuite
— 1 rd log <.!.'■
log (0(1 + ./.■<; — 1 1 1
I d lOg CH.'I I
1 te |,
+&=*,l*ïipq
<;- D'-' ,, p/;~' lQg
En posant successivement dans ce développement E= r, L'. ;2 ',''' ' el ajoutant, on obtient, \ u
l'égalité
j a; pi log (o(x)~| x'p/'log oi.n |
(logF(a!)==/|--TîL-s— J-.+ïïL~s?-"J»..-
+ (/-0!L dœ'-' Jx=.i "' '
où œ'G représente l'ensemble des ternies du développement divisibles par./'.
En posant, en second lieu, dans le développement (85), ; = <-'' el prenant la (/ — i)i*me dérivée par rapport à v, celle-ci est égale, pour c = o, à
pi'-1 log oj( 1 + x(ev — i))~1 X p/ log u (./;)"] L </i«'-' J„=o — 7TL dx J, = ,
a'-1 — 2 . il— ' .. pi5 log i.i.nl
2! dx! J,r=,
pi3 log (o(j:)~1 L ~te3 L
pi'-' log m (a;)'
H as
.r Trf log u (x)~| x* rT3 log (o (a;)-!
T^L dx J,=1 7TL ~^a? J,=
a;'"1 p/'-'logo.i.rfl
(7=ô»L <*-> L- (mod
En comparant les formules (86) el (87), on obtient
. „, , . rd'-' log ru(i + x(e" - i)H
log F(x) = — / ^ ^ | ^ , ( niod / |,
c'est-à-dire que les coefficients de x, x~ x!~l dans le premier membre sont congrus mod F aux coefficients correspondants du second membre, et si nous passons
D. H1I-UKHT.
aux puissances de e qous obtenons, d'abord dans le même sens, puis, vu la remarque faite au débul de cette démonstration, sans restriction, la congruence des deux polynômes à coefficients entiers
et par suite, pour x= i,
>/'-' Iogu(i + xie1' — i);
(mod F),
/M(o)=i— /./"-'((o), (mod /2), ce qui démontre le lemme a^.
Lemme •>.">. — Si les entiers v, \j, de c(u) vérifient 1rs congruences v=i, mod 1, et y, ==t t + À, iiiod 1 , el si do plus v esl congru mod l' à la norme relative d'un entier A du corps kummerien n|y|. 0 défini par |\/| = \/|j,, il existe un polynôme f(x) de degré / — i à coefficients entiers, tel que l'on a
n(/(Ç))=i, (mod F),
v=/i/i. (mod ï'). [Kummer2".]
Démonstration. — Vu la démonstration du lemme 23, tout entier A de a M- 0 peut être mis sous la forme
T + T,(M-') + -+Ti-,(M- ')'"' A — ^ •
el par suite aussi sous la forme
8 + P.M 4-.-. 4-pi,M'~'
•', y , .... y, , ï. 6, [3, p,t étant des en l iris de c(Q, S premier à l. Ce dernier
l'ait (•ut raine
a, a , ..., a,j étant des entiers de c(Ç). Soient alors
a = a "', i, = (^ ot.,, = a*i , (mod ï;,
a*, a* étant des entiers positifs; posons
/e(a;) = a0 - '/,.'• -+- •■• 4- a?ix'1.
C eona, dans c(M. 0> 1=8' et M = '• mod V. il en résulte
A= ï. + •/, 4- ••• + a,, = a" + "'; + ••• + ";-i • (mod t' I .
THEORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQI I s. 2 I ()
Si maintenant on a. selon l'hypothèse de l'énoncé, Y A = '• ni"'! 1 • on a il«' j >1 1 1 ~v = \c(A) = " ■ ", - •■■ - a?i=i, (mod8), el par suite (88) a + a] + ... + af,= i, (mod /)■
Par suite, /*i Ç) est un n bre de c(Ç') congru à i . mod 1. On h. ai m- alors aisément un entier ]><>*alil /<. tel que la norme du nombrey^Ç) ./"' - • "' dans i vérifie la congruençe •(89) n(/(Ç) 1=1, (mod P),
le polynôme entier
f(x)=f(x) + lb = a + a, a; + ... + at tx
remplit alors les conditions du lemme 25. Car on a évidemment A = - ./ M 'B- B étant un entier de >i M- -''• ()" en tire facilement (comme paragraphe i3o)
(90) v = Nc(A) = Nc(/(M)). (!')•
D'autre part, à cause des congruences
al = n. a[ = at «/, = «,.• (mod/),
mi a identiquement en x une égalité
(9,) f(x)Mx)...ftf-tx)=f(x') + lF(x'),
où F(.e') est un polynôme en x à coefficients entiers. On en tire pour x= 1. à cause de (89), la congruençe
/(i)=/(i) + /F(i), (mod/*), e.-à-d. F(i) = o, (mod/).
En faisant ,e= |V| dans (91), on obtient
N«(/(M)) = Ai*) + «"(,*),
et, par suite, comme on a F(p.).= F(i) = o, mod l.
Nc(f(t/l))=Ai>.), (mod 10, c'est-à-dire, à cause de (90).
v =f(V.) , (mod l<) .
Ceci joint à (89) démontre complètement le lemme a5.
Lemme 26. — p et v étant deux entiers de ci Ç) tels que l'on ait v= 1, mod (, el ul=i +X,'mod V, et v étant de plus résidu de norme, mod (. du corps m M- -' défini par M = v <*> on a toujours
[kummer20.]
D. HILUKRT.
Démonstration. -- La formule connue de Lagrange pour l'inversion d'une série de puissances donne immédiatement l'identité suivante :
'</'-' Fi/')'
dv'-1
dv'~
dans laquelle F(v) est une série quelconque de puissances de r. z(i') une série de puissances de v dont le tenue constanl est =|= o, et \ une variable liée à u par l'équation YiUM — e = o.
S. lient alors vf.r) et p.(x) les polynômes adjoints aux nombres v et ;j.. Comme v doit être résidu de normes, mod I, du corps ci|\/|, '), il eviste (lemme 25) un polynùme /'i x) de degré / — i à coefficients entiers, tel que l'on ait
et/(r)>o.
Posons alors
n(/(0)=i, (mod/*)-
v=/(|*), (mo(ll'),
F(v) = logf([l.(er)), V = logy.(B").
log \}.(ev)'
(les fonctions ne seront envisagées que pour c = o. et les logarithmes seront déterminés de manière à être réels pour v = o.
Si nous remplaçons <•>. oi.ri et v dans la deuxième formule (Si)', paragraphe i3i, par /(Q, /(ce), \ respectivement, on en tire
d~i îog /(«m d\'-' Au
:/"-"(/uD +
-, i mod h .
Le lemme •!'» donne, vu (g3), la congruence
/"-"(/(L;i) = o, (mod /i.
el l'on a, par suite.
pr'F(iQ-| rrf-'iog/if'n
L d\'~< J, L dV- J
(mod /> .
D'autre part, on a, vu (g4), la congruence(')
V fi («")) = Vf (■'')+ "
v'~ ', ( mod /i .
(') N. T. — On t'obtient en partant de la deuxième formule (8i)", paragraphe i3i, en mnar- [uant que, à cause de u.= i -f- '■> (l2)> on a : ;j-( ' ) = '•
THEOUIK DES CORPS I>K NOMBRES ALGEBRIQUES. 22 1
qu'il faut entendre on ce que dans le développement par rapport aux puissances de v
1rs coefficients de i, v v'~ ' sont congrus, mod /. il.' part et d'autre, et on en
déduit !'■ développement
\ iii- i . ».
congrùence qu'il faut entendre comme exprimant la congruence des coefficients de
Considérons enfin la fonction -r y). Comme on a ;;.= i — /. mod I esl une
série de puissances di ml le terme constant est = — 1, mod /. Puis "n trouve facilement
(S(U |'=<p(t)') = I,(o) = — I, Mil..,] [),
ru ce sens que les coefficients de 1 . r v'~" sont congrus, mod /, de part et d'autre;
|iui- toujours dans le même sens
— (sici)' ' = — — . (mod/),
et enfin, toujours dans ce même sens, le développement
[-(?(«))'- = /°V) + '%-).^ + '%of^ + -
La réunion de la congruence (';)."> et des deux développements (96), (97 avec (92) donne, comme Jt0(a)= — i et que <l — g)l(g — i) '■ = ( — if, mod /. pour
>j=i. 1 / — 1. la congruence suivante :
/ •,,/"'.;*) — /,,-*'(v)'w(!*) + - — /",(v)/"-,)(X.i = o, (mod / . c'est-à-dire d'après la définition (821 du svmbole — - j roi,
ce qui démontre le lemmé 26.
$ 1 33. — Distinction des uésidi s et non résidus de nois\ie< avec le symbole — - .
Théorème idi. — v, y. étant deux entiers quelconques de c(Ç), mais (y. n'étant pas dans c(£), et m étant un idéal premier quelconque du corps circulaire <• ; . ■ ■ -1 résidu ou non résidu de normes, mod u>. du corps kummerien ci M- "-] défini par
M = \ ■) , -uivant que l'on a
'- = 1 ou = = I .
Démonstration. — Soit d'abord »=|=l et ne divisant pas le discriminant relatif
du corps ri M. £). Si p," est un entier de c(Ç), tel que — suit la /'""'" puissance d'un
i i . \ v • lJ-~ i l Vi u- )
nombre de e(g, un a toujours , == — - . On peut donc, vu le théorème i&8,
admettre ici que ;j. n'est pas divisible par ». Distinguons deux cas, suivant que »
est égal dans n|\/|. y à un produit de / idéaux premiers 358 2B, ou que » est
lui-même idéal premier clans c(M. -')• D'après le théorème i^o on a, dans le premier
cas — = i, dans le second — =1= i etd=o. ( » j ' » * '
Dans le premier cas déterminons un entier A de nfj\, y divisible par 308, mais
non par :ÎB° ni par aucun des idéaux 2B, Î8, ■ alors la norme relative a= NC(A)
contient » exactement au premier degré. Si alors »'' est la puissance de » contenue
dans v, x = — peut se mettre sous forme d'une fraction dont les deux termes
sonl premiers à » et sont, par suite (théorème i5o), résidus de normes du corps « M- -'»• niod ». 11 en est donc de même de v. Connue, d'après la définition du paragraphe i3i,
le théorème i5i est exact dans ce premier cas.
Dans le second cas. la norme relative d'un entier A de c(|\/|, Q est toujours divisible exactement par une puissance de » dont l'exposant est un multiple de /. Soit encore »'' la puissance de » contenue dans v ; si 6 n'est pas multiple de /, v ne peut donc être résidu de normes, mo'd » ; dans ce cas, on a d'ailleurs
Si an contraire b est un multiple de /, et que y. désigne un entier de ci y divisible
par ». non par »'. nous posons "/. = — et nous voyons que v est résidu de normes,
mtid », connue dans le premier cas; d'antre part, on a maintenant
Le théorème r5i est ainsi démontré dans ce second cas.
Supposons maintenant que le discriminant relatif du corps C| M- 0 s"il divisible par l'idéal premier »; » doit être =| - l . Supposons que v soit divisible par »'' et
■i. par »" ; alors n n'est en toul cas jamais multiple de /. Le nombre x = — j peut se mettre sous forme d'une fraction -, dont les deux termes sont premiers à ». Le
nombre ss'- ' esl un entier non divisible par w ; d'après la démonstration du théorème i5o. pour qu'un tel nombre soii résidu de normes, mod w. il faul el il surfil
tin* j 1 soit résidu do /"'"e puissance, i I w. c'est-à-dire ici, que - = i el par
suite que -— -I = i ; le théorème t5i esl encore exacl dans ce cas. i w \
Soi l enfin u> = I. Nous en \ isagerons seulement le cas où l'on a \>. = i + / . mod I (le seul dont nous aurons besoin dans la suite; 1rs autres se traiteraienl d'une manière analogue). Pour la démonstration, nous ferons encore la restricti non essentielle) v=i, mod t. Comme on a u-=i -t-X, mod V, on peut, d'après le théorème i3o. former exactement f~* résidus de normes v* du corps n M ' ■ mod I • résidus congrus à i, mod 1. et incongrus entre eux mod l'+1. D'autre part, toul résidu de normes v* de <i|\/|, '-'>. mod 1, pour lequel on a v*=i. mod I. remplil (lemme 26)
(v, u.) la condition j— jM = ' •
A cause de
/"-'(, -0B'-"j-^-,, on obtient, vu (82) :
Soit maintenant y. un entier quelconque de c(Ç) congru à it. mod I. el posons
II)
où x esl un nombre de la suite o, 1, 2, ..., / — 1 ; alors on a évidemment
au contraire, on a toujours
jq(i-f)', y.)
lorsque x est un nombre de la suite o. 1. 2 /— 1, =|=a. Si nous choisissons
ensuite un entier x' de c(Ç), encore congru à 1. mod (, mais non congru, mod I. à
aucun des / nombres x. x('i — l\ x(i — If a(i —/)'"'. les ? nombres x', x'i 1 — /),
x'i 1 — h' x'(l —/)'-' sont aussi tous incongrus entre eux. mod 1'+', el de plus
non congrus à aucun des / premiers nombres; parmi ces /derniers nombres, il 5 en a évidemment, à cause de (98), un el un seul — soit, par exemple, x'i 1 — If' - tel
qlle * — i ÎJ|== i. En continuant ainsi, nous voyons que le nombre des nom-
lues v incongrus, mod l'+1, congrus à i, niocl 1. et vérifiant la condition — — = i,
est précisément l'-1, et comme ce nombre coïncide ayec le nombre trouvé antérieurement pour les résidus des normes v", on voit qu'inversement tout nombre v possédant ces deux propriétés est résidu de normes du corps c(M. Ç). mod 1 .
Le théorème i5i est ainsi démontré complètement; à part que pour le cas de tt> = 1 on s'est borné aux nombres v, \>. , v = i, mod I, et [*,= r + X, mod 1". La restriction relative à v est évidemment facile à lever.
Du théorème î T> i résulte, à l'aide des premières formules (8o) et (83), la formule.
où m est un idéal premier quelconque de c('Ç) et v* un résidu de nonnes du corps ci M' 0> m°d >»•
Pour définir maintenant le symbole \—f-\ dans le cas où l'un des deux nombres
v, y. ou tous les deux sont divisibles par (, il suffit de convenir qu'on a toujours les formules
* vv • ''■ \ — \ ^Jt l S ^ ' * ^ ' —
où v est un résidu de normes quelconque du corps c\y\j., £J, mod I. On en déduit,
en particulier (1),
j i + al', '/. ) ( i + «À' j
Nous pourrions uniquement baser la définition du symbole j— — j sur les formules
, y , /II»)— I I
^ ^J | r — — \ y,' v- / \ v v- ) \ v v- 1 t i j~~* ' i i S I..I il t ]'
i i + fl/,', XI i X. J + rtX'
rsl ici divisible par l1 et ;j. par ("; donc .
p= i , s== i + aX',
;,.' i-f-aX'' j X. i + al' ) ( i 1 ( i + r,/,' 1 -' j i + aX', X ) j t + <ù' i ...
où •/ est un entier de cl '.') premier à t, v un résidu de normes de c(\ ;;. . g), mod l . el v, v ', v, îles entiers quelconques de c(Ç) (voir S (66). J'ai pbùrtanl choisi pour le moment la définition (82), qui se rattache immédiatement aux développements de Kummer.
Remarquons enfin que nous avons maintenant atteint le bul fixé an début du paragraphe i3i ; si, en elt'et, we est une puissance quelconque de L'idéal premier to (avec e>/ dans le cas où vo = l), on peul évidemment diviser un système complet de nombres de c(Ç) premiers à w et incongrus, mod we, en ayant égard aux valeurs
du symbole -^-' ■ en / sections contenant tontes autant de nombres, l'une d'elles ( m \
contenant tous les résidus de normes mod \v du corps n|\/|. Ç) se trouvant dan-; le s\ stème.
