II II

a toujours une limite finie et différente de o pour s= 1 ; le produit TI étant étendu à

(») tous les idéaux premiers de c(Ç) el le produit II à tous les exposants m = 1 , 2, ...,

/ — 1. [Kummer'2".]

■22Ï> D. HII.BKRT.

Démonstration. — En envisageant le corps kunimerien C = c(\/a, ÇJ et désignant ici la fonctioD .j.<t du théorème 56 par 'l,{s), on a, d'après le paragraphe 27.

■•'" = !! T^Fr"

le produit étant étendu à tous les idéaux premiers ty de C et Ni^>) étant la norme de ty prise dans C. Si l'on ordonne ce produit par rapport aux idéaux premiers p du corps c(Ç), dont proviennent les idéaux premiers <J>. à chaque idéal p correspond dans le produit (théorème i4g) le terme

(i-mpi '] 1 — m pi ' t — n<p

\ y- ) suivant que l'on a - =1 ou =0, ou =fc 1 et d=o.

' V ' Ecrivons ces trois expressions sous une forme commune :

II m (pour m = 1, S, ...,'{ — 1);

' v i nous obtenons ainsi

(P) I — /i(P) <pi (m) \ * /

1 1 représentant le produit étendu à m = 1. 2, ... , I — 1 et les deux produits II s'éten-

(m) ip

dant à tous les idéaux premiers p de c(Ç). Or, chacune des expressions

Lim (s — 1) II ;, Lim (s — OCc(s)

esl finie et =|=o, comme on le voit en appliquant le théorème ô(i au corps circulaire c(Ç), puis au corps kummerien C = f(vi, '1). En multipliant par .« — 1 l'équation 1 99) el passant à la limite pour s= 1, on voit que l'expression donnée dans le lemme 27 a une limite Bnie et =|=o.

S 1 33. — Idéaux premiers de c(Ç) ayant des caractères de puissances donnés.

Théorème i5a. — Soient x, x, . / entiers quelconques du corps circulaire c .' ».

tels que le produit

tu ni "1 1

ne soil jamais la puissance /"""■ d'un nombre de c(£) lorsque ml, m, m, prennent les valeurs o, 1 / — 1 , la combinaison m =m. = ...-=m.=o exclue: soient

THEORIE Ui:s CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. 21*7

de plus y , y ,... , y, des racines /""""de L'unité données arbitrairement. Il \ .1 toujours dans le corps circulaire c(Q une infinité d'idéaux premiers p, tels que l'on ail pour nu certain exposant m premier à /

Us "' i> i '*' "" US

[Kummer*0.]

Démonstration. — On a, tant que s est > 1,

/ log S -±- = S \ (i) n(i) (»i

V ]oo- = V j g

(„ b 1 — n($y w»(py (100)

f S =- S ^ LiS î L-

où S et S sont étendus respectivement à tous les idéaux et à tous les idéaux premiers

(i) tu de c(Ç). Comme l'expression S reste finie pour s= 1 (voir *> 5o), il résulte de 1 100)

que, le premier membre devenant infini pour s= 1, la somme ^ ; croit égale-

ment au delà de toute limite lorsque s tend vers 1. Ensuite, i étant un nombre entier quelconque de c(Ç), on a de même pour *> 1

log II = S — — - + S(x),

(p) \ * / ,s (») P * «ipi

et S(a) reste ici encore finie pour s = i. Soit maintenant m un des nombres 1, 2, .... / — 1. Posons dans (101) x = x™ = x™"1 a**> . . . x™"< et multiplions encore l'égalité obtenue par le facteur Y7""r7"=--- Yr"': donnons ensuite à chacun des t exposants u,, us, .... h; les / valeurs o, 1, 2 I — 1 (à l'exclusion de la combinaison nâ = ul = ... = ut = o). En additionnant les /' — 1 égalités ainsi obtenues à (100), on obtient la relation

V+s+ s y,-"....T-"«iogn

wHP)' ' (« «<)" ° <>") t ^a"' ■•■ a'"'"'n,rr-

= s [i][a] ...[/]L + s + s ïr"'-ïr'"s«).

i!2(S D. HILBERT.

où l'on a posé pour un instant

.! *,r\ -.i*«rv , z' -.f*-7"

w=' + (Tr1t!) + (T.iifi) + - + Hîl

Faisons abstraction, dans la première somme du second membre de 102. des termes en nombre limité (dont G„, désignera l'ensemble), correspondant aux facteurs idéaux premiers de xt y,. À. Le reste infini de cette somme est alors évidemment /'- . où (| parcourt seulemenl tous les idéaux premiers de c(Ç), rem-

plissant-les / conditions

(io3) , — v =Yi> ••• > ; — , = V

Ecrivons alors les égalités (102) les unes après les autres pour m = i, 2 / — 1

et ajoutons: nous obtenons

(io4)

"' log II II

«ipr

= z's + vG„, + (/-.)s+ £ y,— ....Yf'ss(«;);

v parcourt tous les idéaux premiers p de c(Ç) satisfaisant à l'un quelconque des I — 1

systèmes de conditions (io3) obtenus en faisant m = 1 . 2 / — 1 : pour y, = 1, •■•,

■/,= i, ces / — 1 systèmes so.nt identiques et les idéaux premiers correspondants doivent être pris / — 1 fois. En passant alors à la limite pour s = i, la première somme ï! du premier membre de 104 augmente indéfiniment, tandis que la deuxième somme 1 du premier membre reste finie d'après le lenmie (27). S et S(a™) restant

aussi finies, l'expression X croît donc indéfiniment lorsque s tend vers 1. et. par

suite, il y a une infinité d'idéaux r: or, ils satisfont au théorème [52.