DE CLASSES DE C\C

Lemme 28. — / étant premier impair, la condition nécessaire et suffisante pour que le premier facteur du nombre de classes du corps c\Ç=e ' / soil divisible par/

est que / divise le numérateur de l'un des /* = premiers nombres de Bernoulli.

[Kummer8, Rronecker5.]

■j'.'il) D. HILBERT.

Démonstration. -- On a mis, au théorème i4a. le nombre de classes h du

corps i'i.'i sous lui me d'un produit de deux facteurs; considérons l'expression donnée

-(au premier. Posons pour abrégerZ = e l~ ' ■ Supposons de plus r racine primitive

/— i ni.nl /. choisie de façon que r 2 + i ne soit divisible que par la première puissance

de /('). Soit enfin, comme aux paragraphes 10S et 109, i\ le plus petit reste positif de r' mod / et gi = -

Le premier facteur du nombre de classes A^st mis dans le théorème 1/12 sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est (2/)'*, et dont le numérateur est

(io5) f(Z)f(T)f(Z')-f(Z1-'),

/'(.') désignant pour abréger le polynôme à coefficients entiers

./'(■'-') = r0 + i\x + rjc' + ... + r,^'-\

En posant ensuite

9(n) = 9o + '/■•'■' + 1tx' + ••■ + '/,-. 'c'~'' • on trouve aisément

(rZ-i)f(Z) = lZ.g(Z).

et comme, \ u le choix de /*, le produil

(/•Z -i)(/-Z3-<)...(rZ'-'; -i> = (-i)~T(r-~ + 1)

est exactement divisible par la première puissance de /, il en résulte que le numé-

/— 1 râleur (io5) du premier facteur de h n'est divisible par / - = F+' que si le nombre

g(Z)g(Z3) ■■■ <nz'~"~)

est divisible par /. Maintenant y = (/, Z — /'lest un idéal premier diviseur de /dans le corps c(Z), et comme on a évidemment Z?='*. mod i», on a

g{z)g(T) ■■■ (gz'~s) = <An ••■ .'/('•'":)■ (mod s);

par suile. le premier l'acteur du nombre de classes // n'est divisible par / que si l'une

au moins des congruences

,,(,-■"-') = </„ + <|ir'-, + <7„r*,s'-" + ... + fc./'-' ,';'-" = o. (mod />.

est vérifiée. '

(') N. T. — Si l'on avait r " +1 =0, (/-), il suffirait de prendre une racine /■'=;■, (/) et=t=r,(/*).

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES. a .""i I

Snii alors / un des nombres i. a, 3. .... -. En élevanl à la puissance •'

l'identité

dans laquelle n\ — 1\ , est divisible par /. on obtient la congru'ence

r'r;'^,-;lt + 2l(rr,-rl ,)i*^, (mod P),

nu

aiCrr.-n+Orîtfsi*!-,*-!*,, (mod P):

et comme on a évidemmenl

(/•'•, - ri+1) /■?£'=; (Tvv— r1+1) /*+"<*-», (mod /S.

on en tire

2/(/v, — /-,,, /•"-'Mi'-n = #•-'/•.-' — r; ,. (mod fi.

En ajoutant ces congruences pour i = o, i, 2 / — a, on obtient

2 llr-'-'^i/, /•■'-'-'>= rJ'ï/',-' — Sif;,, (mod /! 1 .

in

Comme d'ailleurs on a

Vr* = Ht%.l = i-' + a!' + 3-' + ... + (I — 0"'-

il en résulte que la condition nécessaire et suffisante pour que le nombre u<r"~'t soit divisible par / est que le nombre

nolii (r* — i)(i" + a" +...+(1— 1)")

soit divisible par /". Vu l'hvpothèse faite pour la racine primitive /■. l'expression ( 106)

11 est certainement pas divisible par /* pour t= . Pour / = 1, 2 on a

toujours, d'après la formule sommatoire de Bernoulli('), la congruence

r' 4. 2*' 4. 3» 4 ... 4. (/ 1 )" = ("— i)'-'B,/. (mod F),

(') N. T. — Rappelons qu'on appelle nombres de Bernnulli les coefficients B, , B2 du

développement

x x xer + 1 B.àr B ./•' (— iV'-B,/-5"

er — 1 2 2 er— 1 2! 4! (an)!

Valeurs des premiers :

On appelle polynômes île Bernonlli les polynômes =PI-'") s'annulant pour a? — 0 el vérifiant

a3a D. HILBERT.

où l'>, représente le /"'m'' nombre de Bernoulli, et, par suite, la divisibilité par P de l'un au moins des nombres (10G1 pour 1 = i. s, ... revient à la divisibilité par

/ d'au moins un des numérateurs des premiers nombres de Bernoulli. Le

lemme 28 est ainsi démontré.

S i38. — Lemme sur les imtés du corps circulaire c\e > ) dans le cas 01 / \e

DIVISE LE M MEHATEl II I) AUCUN DES PREMIERS .NOMBRES DE BeRNOM.I.I.

Lemme 29. -- / étant un nombre premier impair ne divisant le numérateur

d'aucun des = /* premiers nombres de Bernoulli, on peut toujours former, au

l'équation fonctionnelle

On a (3) P,(n) = i" + 2* + 3" + ... + (n - i)p + à».

( )n démontre l'expression ci-après de ce polynôme :

On trouve en etl'et, à l'aide du développement (1), en chassant le dénominateur <" — 1, divisant par ,;■ les deux membres et égalant les coefficients de .(•-", la formule de récurrence