an)! (271D1! (an — 2)!3! i\ an — ii! (an+i

Or, on est conduit à la même formule en égalant les coefficients de .ri'-'1" dans les deux membres

de l'équation fonctionnelle (2) : ?//•'■! — 'fp(-r — ') = ■''''•

Des propriétés ci-dessus résulte l'égalité

ir1' ' n" a»

fM(„)= r"+ 2-+ ... + (n-ir+n^— + - +^>r"~'

d'où la congruence indiquée.

THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES Al.i.l UKlnl l s. a33

moyen de produits et quotients d'unités du corps circulaire c(Z), un système de f unités £, ir vérifiant les /" congruences

le, =i + a,À*, il .

(107) sa = 1 +a3\\ (f),

où a,, «s, ...,a;. sont des entiers rationnels non divisibles par /. el "ù on a posé / = 1 — '1, ( = (X). [Kummer12.]

Démonstration. — Partons de l'unité circulaire (v. s 98)

(,o8) e=Vc-t) c-rr

où /'est une racine primitive mod /. Posons ensuite s'-1 = v el

(IO(j) - T|(;--s l;''-s)(^-s)...(r°-'-2-s)(/-« -— i) (>•" »-s) ... Ir'-'-M

pour i=i, 2,3 /". où S est dans l'exposant symbolique la substitution s = ('Ç ; I' >.

L'unité r,. 1 / — [)ième puissance {|un entier de c(Z), est nécessairement = i, mod i, et il en est alors de même de chacune des unités i, .

Supposons formés conformément au paragraphe i.'ii les polynômes adjoints zt(x) pour chaque unité ;, : on a pour les nombres rationnels

c'est-à-dire, pour les valeurs des / — 2 premières dérivées du logarithme de z,(er) pour v = 0, les congruences

/""(î,) = 0, (mod/),